第八章 数值积分与微分.pptVIP

第8章;第8章目录;第8章目录;序(1);序(2);§1 数值积分的基本概念 ;构造数值求积公式的基本思想（续）;构造数值求积公式的基本思想;1.2 代数精度 ;代数精度(续1）;代数精度（续2）;例2 ; 公式（7-4）不仅对特殊的次数不高于3次的多项式f (x) = 1,x,x2, x3准确成立，而且对任意次数不高于3次的多项式，a0+a1x+a2x2 + a2x3 （f (x)=1,x,x2, x3的线性组合）也准确成立，事实上，令R( f )表式（7-4）的截断误差：;由于对任意的常数?, ? 和函数f (x)，g (x) 成立: ;待定系数法注释;1.3 插值型求积公式 ;插值型求积公式（续）;插值型求积公式代数精度定理; (必要性) 设求积公式（7-1）是插值型的，则对所有次数不大于n的多项式f (x)，按（7-6）其求积余项Rn = 0，即公式是精确成立的。由定义1知求积公式至少具有n次代数精度。（证毕）;插值型求积公式举例;§2 牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式 ;牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式（续）;柯特斯系数 ;牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式（续1）;牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式;柯特斯系数的性质; 3、柯特斯系数并不永远都是正的。 从表7-1可以看出当n = 8时，出现了负系数，在实际 计算中将使舍入误差增大，并且往往难以估计，从而牛顿 一柯特斯公式的收敛性和稳定性得不到保证，因此实际计 算中不用高阶的牛顿一柯特斯公式。 ;N为偶时的牛—柯公式的代数精度证明;N-C公式应用举例;;2.2 几种低价N-C求积公式的余项 ;辛卜生公式误差估计式的 推导;3. 柯特斯公式（6-10）的余项为： ;2.3 牛顿一柯特斯公式的稳定性和收敛 ; 关于收敛性可以证明，并非对一切连续函数f (x)，都有： ，; 在实验计算中常用的就是以上三种低阶的 N-C公式，但若积分区间比较大，直接使用这 些求积公式，则精度难以保证；若增加节点， 就要使用高阶的N-C公式，然而前面已指出， 当n ? 8时，由于N-C公式的收敛性和稳定性得 不到保证，因此不能采用高阶的公式，事实上，增加节点，从插值的角度出发，必然会提高插值多项式的次数，Runge现象表明，一般不采用高次插值，亦即不用高阶N-C公式，为提高精度，当增加求积节点时，考虑对被积函数用分段低次多项式近似，由此导出复化求积公式。;3.1 复化梯形公式;复化梯形公式;复化梯形公式的截断误差 ;复化梯形公式的数值稳定性讨论;3.2 复化Simpson公式和复化Cotes公式 ;复化Simpson公式的截断误差 ;复化Cotes公式 ;根据函数表 ;（2）由复化Simpson公式,n=4,h=1/4：;要求计算结果有四位有效数字，即要求误差不超过10-4 / 2。 又因为:; 例7的计算结果表明，为达到相同的精度， 用复化Simpson公式所需的计算量比复化梯形公式 少，这也说明了复化Simpson公式的精度较高，实 际计算时多采用复化Simpson公式。 ; 要使截断误差不超过10-3 / 2，h应取多大？ ;§4 逐次分半算法(变步长方法) ;4.1 梯形法的递推公式 ;因此计算梯形序列{T2m}可按： ;4;此为复化梯形公式的递推公式 ;按上述逐次分半算法，并利用递推公式，T2m 的计算较容 易，那么，上述算法何时停止？;复化梯形公式的停止计算控制 ;复化simpson的停止计算控制 ;4.2 Simpson公式的逐次分半法 ;Simpson公式的逐次分半法（续）;梯形公式的逐次分半法举例;例8（续）;例8说明;例8说明（续1）;由于;例8说明（续3）;例8说明（续4）;§5 龙贝格（Romberg）求积公式 ;外推法（续1）;外推法（续4）;龙贝格(Romberg)求积公式（续2）;外推公式;外推公式（续）;Romberg方法举例;§6 高斯型求积公式;对 ，其几何意义是曲边梯形aABb的 面积，若以梯形公式计算I ( f )≈(b-a)[f(a)+f(b)]/2; 由于假定是等距节点，因此n=1只能以a,b为插值节点， 若不限定为等距节点，即可选择两个节点，如以x1,x2为节 点，做直线A?B?近似曲线,也即以梯