第二章第二节：初等解析函数.pptVIP

exp z=ex(cos y+isin y) 等价于关系式: |exp z|=ex, Arg(exp z)=y+2k 考察指数函数所具有的性质： 1) exp z?0 2) 加法定理: exp z1?exp z2 = exp(z1+z2) 事实上, 设z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, 按定义有 由于exp z满足条件iii), 且加法定理成立, 为了方便, 往往用ez代替exp z. 注意： ez没有幂的意义, 仅仅作为代替exp z 的符号使用, 因此有 ez=ex(cos y+isin y) 特别, 当x=0时, 有 eiy=cos y+isin y（Euler 公式） 由加法定理, 推出exp z 具有3)、周期性（2k i）, 即 ez+2k i=eze2k i=ez其中k为任何整数。 二、三角函数和双曲函数 eiy=cos y+isin y e-iy=cos y-isin y将这两式相加与相减, 分别得到 现将其推广到自变数取复值的情形, 定义 由于ez是以2 i为周期的周期函数, 因此cos z和sin z以2 为周期, 即 cos(z+2 )=cos z, sin(z+2 )=sin z.也容易推出cos z是偶函数:  cos(-z)=cos z而sin z是奇函数: sin(-z)=-sin z由指数函数的导数公式可以求得 (cos z)‘=-sin z, (sin z)’=cos z易知 eiz=cos z+isin z 普遍正确, 即对于复数, 欧拉公式仍然成立. 由定义可知三角函数许多公式仍然成立 由此得 cos(x+iy)=cosxcosiy-sinxsiniy, sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy. 但当z为纯虚数iy时, 我们有 这两个公式对于计算cos z与sin z的值有用. 当y??时, |siniy|和|cosiy|都趋于无穷大, 因此, |sinz|?1和|cosz|?1在复数范围内不再成立. 其它复变数三角函数的定义如下: 与三角函数密切相关的是双曲函数, 定义 分别称为双曲余弦,正弦和正切函数. chz和shz都是以2πi为周期的函数, chz为偶函数, shz为奇函数, 它们都是复平面内的解析函数, 导 数分别为: (chz)=shz, (shz)=chz 可证明 chiy=cosy, shiy=isiny * 第二节：初等解析函数 一、指数函数 定义2.3 对于任意复数 ，则规定 　　　　　　 为复指数函数． i) f (z)在复平面内解析;ii) f ’(z)=f (z)iii) 当Im(z)=0时, f(z)=ex, 其中x=Re(z) x,y表示复平面，z表示函数的实部，颜色表示函数的虚部 例1 解 例2 解 当z为实数时, 显然与上式完全一致. 例1 解