综合评价方法二.pptVIP

* 数学建模竞赛 3 层次分析法 人们在实际问题中常常会遇到各种各样的决策问题，如旅游地的选取问题，旅游者初次筛选几处旅游地，但每个旅游地的景色、所需费用、居住条件、饮食条件交通等各不相同，根据个人的条件和爱好等如何确定旅游地。 再例如，某人准备选购一台电冰箱，他对市场上的6种不同类型的电冰箱进行了解后，在决定买那一款式时，往往不是直接进行比较，因为存在许多不可比的因素，而是选取一些中间指标进行考察。例如电冰箱的容量、制冷级别、价格、型式、耗电量、外界信誉、售后服务等。然后再考虑各种型号冰箱在上述各中间标准下的优劣排序。借助这种排序，最终作出选购决策。 在决策时，由于6种电冰箱对于每个中间标准的优劣排序一般是不一致的，因此，决策者首先要对这7个标准的重要度作一个估计，给出一种排序，然后把6种冰箱分别对每一个标准的排序权重找出来，最后把这些信息数据综合，得到针对总目标即购买电冰箱的排序权重。 再如：某人准备假期旅游，初次筛选了桂林、黄山和北戴河三处旅游地，但每个旅游地的景色、所需费用、居住条件、饮食条件交通等各不相同，如何在3个旅游地中按照景色、费用、居住条件、饮食和路途6个因素选择一个最佳的旅游地。 象这样类似的问题很多，其特点是这类问题所往往涉及到经济、社会、人文等方面的因素。在作比较、判别、评价、决策时这些因素的重要性、影响力或者优先程度往往难以量化，人的主观选择会起着相当重要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难。 层次分析法（analytical hierarchy process ,AHP）是美国匹兹堡大学教授撒泰（A.L.Saaty）于20世纪70年代提出的一种系统分析方法。它综合定性与定量分析，模拟人的决策思维过程，来对多因素复杂系统，特别是难以定量描述的社会系统进行分析。目前，AHP是分析多目标、多准则的复杂公共管理问题的有力工具。它具有思路清晰、方法简便、适用面广、系统性强等特点，便于普及推广，可成为人们工作和生活中思考问题、解决问题的一种方法。将AHP引入决策，是决策科学化的一大进步。它最适宜于解决那些难以完全用定量方法进行分析的公共决策问题。 应用AHP解决问题的思路是，首先，把要解决的问题分层次系列化，将问题分解为不同的组成因素，按照因素之间的相互影响和隶属关系将其分层聚类组合，形成一个递阶的、有序的层次结构模型。然后，对模型中每一层次因素的相对重要性，依据人们对客观现实的判断给予定量表示，再利用数学方法确定每一层次全部因素相对重要性次序的权值。最后，通过综合计算各层因素相对重要性的权值，得到最低层（方案层）相当于最高层（总目标）的相当重要性次序的组合权值，以此作为评价和选择方案的依据。 AHP将人们的思维过程和主观判断数学化，不仅简化了系统分析与计算工作，而且有助于决策者保持其思维过程和决策原则的一致性，对于那些难以全部量化处理的复杂的问题，能得到比较满意的决策结果。因此，它在能源政策分析、产业结构研究、科技成果评价、发展战略规划、人才考核评价以及发展目标分析等许多方面得到广泛的应用。 下面介绍层次分析法的基本原理、步骤、计算方法、及其应用。 3.1 层次分析的基本原理 为了说明AHP的基本原理，首先分析下面这个简单的事实。 假定我们已知n只西瓜的每只西瓜的重量分别为 ， ，… ，且总和为1，即 。把这些西瓜两两比较（相除），很容易得到表示n只西瓜相对重量关系的比较矩阵（以后称之为判断矩阵）： 显然 对于矩阵 ，如果满足关系 ，则称矩阵具有完全一致性。 可以证明具有完全一致性的矩阵A= 有以下性质： 1）A的转置亦是一致阵； 2）矩阵A的最大特征根 ，其余特征根均为零。 3）设 是A对应 的特征向量，则 若记 则矩阵 是完全一致的矩阵，且有 AW = = = nW 即n是n只西瓜相对重量关系的判断矩阵A的一个特征根，每只西瓜的重量对应于矩阵A特征根为n的特征向量W的各个分量。 很自然，我们会提出一个相反的问题，如果事先不知道每只西瓜的重量，也没有衡器去称量，我们如果能设法得到判断矩阵A（比较每两只西瓜的重量是容易的），能否导出每只西瓜的重量呢？ 显然是可以的。 在判断矩阵具有完全一致的条件下，我们可以通过解特征值问题 AW= W 求出正规化特征向量（即假设西瓜总重量为1），从而得到n只西瓜的相对重量。