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第五章 贝塞尔函数 5.1 贝塞尔方程的引入 5.2 贝塞尔方程的求解 5.3 n为整数时贝塞尔方程的通解 5.4 贝塞尔函数的递推公式 5.5 函数展成贝塞尔函数的级数 ５.6 应用举例 分别消去 和 , 可以得到 两式相加减 贝塞尔函数的递推公式 若知道 的值, 就可以求出 进而得到任意正整数阶贝塞尔函数的值. 5.4 贝塞尔函数的递推公式 对于第二类贝塞尔函数, 也有相应的递推公式. 5.4 贝塞尔函数的递推公式 例 5.4 n 为整数时贝塞尔方程的通解 例 求不定积分 . 解 由 ，可得 5.4 贝塞尔函数的递推公式 5.5 函数展成贝塞尔函数的级数 在本章开始，我们从薄圆盘温度分布的定解问题中，导出了贝塞尔方程的特征值问题： 方程的通解为 由于 , 由条件 知 , 从而 为了求出特征值问题, 必须判明 　的零点是否存在,分布情形如何． 由　　　　　可得: 贝塞尔函数的零点的结论： (1) Jn(x)有无穷多个单重实零点, 这些零点在x 轴上关于原点对称分布, 因而Jn(x)有无穷多个正的零点; (2) Jn(x) 的零点和 Jn+1(x) 的零点是彼此相间分布. (3) 设 ( )为 的正零点, 则有 5.5 函数展成贝塞尔函数的级数 与这些特征值相应的特征函数为 的解为 5.5 函数展成贝塞尔函数的级数 贝塞尔函数的正交性 的正平方根称为函数 　　　 的模值. 的正交性 讨论 　 n 阶贝塞尔函数序列 (m = 1, 2 …)在区间(0,R) 上带权 r 正交, 即 结论１ 5.5 函数展成贝塞尔函数的级数 结论2. 在区间［０，R］上具有一阶连续导数以及分段连续的二阶导数的函数 f ( r ),如果在 r=0 处有界, 在 r=R 处等于零, 则它必可以展开为 如下形式的一致收敛的级数： 其中 5.5 函数展成贝塞尔函数的级数 * * * * * * 讨论瞬时状态圆盘上的热传导问题,导出贝塞尔方程； 讨论贝塞尔(Bessel)方程的解以及解的性质。 稳恒状态圆域上热传导问题—欧拉方程。 瞬时状态圆域上热传导问题—贝塞尔方程。 5.1 贝塞尔方程的引入 设有半径为 R 的薄圆盘，其侧面绝缘，边界上温度始终保持为零，且初始温度已知，求圆盘的温度分布规律。 可归结为求解如下定解问题 令 ，代入方程得 进而得 齐次偏微分方程化为两个微分方程: 它的解为 (1) 5.1 贝塞尔方程的引入 (2) 亥姆霍兹方程(Helmholtz) 由边界条件，可知 在极坐标系下，问题可以写成 5.1 贝塞尔方程的引入 再次分离变量,令 ,代入化简得 引入参数 分解 5.1 贝塞尔方程的引入 本征值 ， 将 代入另一方程得 n 阶贝塞尔方程. 结合自然周期条件，得本征值问题 本征函数 5.1 贝塞尔方程的引入 由条件 得 由温度是有限的，得 原问题就转化为求贝塞尔方程在条件 下的特征值和特征函数. 做代换 , 并记 考虑贝塞尔方程 5.1 贝塞尔方程的引入 n阶贝塞尔方程的标准形式. 方程转化为 5.1 贝塞尔方程的引入 5.2 贝塞尔方程的求解 用 x 表示自变量, y=y( x ) 表示未知函数, 则n阶贝塞尔方程为 其中n为任意实数或者复数, 我们仅讨论 的情形. 假定方程有如下形式的级数解： 其中 为常数。 逐项求导, 有 代入方程确定系数 和 ： 比较系数得 5.2 贝塞尔方程的求解 取c=n 由 选取 由 得 因此 5.2 贝塞尔方程的求解 这样，得到方程的一个特解 称 为 阶第一类贝塞尔函数(n=0). 5.2 贝塞尔方程的求解 取指标 　　　　　　　得方程的另一特解 当 n 不为整数时, 和 线性无关． 所以方程的