8 4轨迹和轨迹方程（第2课时）.pptVIP

解：设圆P与准线l相切于M点, 则 因为|PM|=|PQ|,所以 |PF|=2|PQ|,即Q为线段PF的中点. 设点Q(x，y),P(x0，y0). 又点F(2,0),所以 解得 又因为点P在双曲线上，所以 于是 故点Q的轨迹方程是 点评：此题中动点Q(x，y)是随着动点P(x0，y0)的运动而运动的，而点P在已知曲线上，因此只要将x0、y0用x、y表示后代入曲线方程中，即可得点Q的轨迹方程.这种求轨迹的方法称为代入法(又称相关点法). 求经过定点A(1，2)，以x轴为准线，离心率为 的椭圆下方的顶点的轨迹方程. 解：设椭圆下方的焦点为F(x0，y0)， 由定义知 所以|AF|=1， 故点F的轨迹方程为(x0-1)2+(y0-2)2=1. 又设椭圆下方顶点为P(x,y),则x0=x,y0= y, 所以点P的轨迹方程是(x-1)2+( y-2)2=1. 2. 如右图,P是抛物线C： 上一点，直线l过点P 且与抛物线C交于另一点Q. 若直线l与过点P的切线垂直， 求线段PQ的中点M的轨迹方程. 解：设P(x1,y1)、Q(x2,y2)、M(x0,y0)， 依题意知x1≠0，y10，y20. 由 ①由①得y′=x, 所以过点P的切线的斜率k切=x1. 所以直线l的斜率 所以直线l的方程为 ② 方法1：联立①②消去y，得 因为M为PQ的中点， 所以 消去x1，得 所以PQ的中点M的轨迹方程为 方法2：由 得 则 所以 将上式代入②式并整理，得 所以PQ的中点M的轨迹方程为 点评：本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以及求轨迹方程的常用方法.本题求解的关键是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题.本题先设P，Q两点的坐标为参数，然后利用抛物线方程、切线方程等得出横坐标的关系及中点M的坐标，再把所求点M的坐标(x0，y0)转化为所设参数x1的式子，然后通过消去所设参数，就得到x0,y0的方程，这就是参数法求轨迹方程.应用参数法的关键是找到各参数之间的关系及如何代入或整体消参. 已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A、B两点.若动点M满足 (其中O为坐标原点)，求点M的轨迹方程. 解：由条件知F1(-2，0)，F2(2，0). 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)， 则 由 得 即 于是线段AB的中点坐标为 当线段AB不与x轴垂直时， 即 又因为A、B两点在双曲线上， 所以x12-y12=2，x22-y22=2， 两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)， 即(x1-x2)(x-4)=(y1-y2)y. 将 代入上式， 化简得(x-6)2-y2=4. 当直线AB与x轴垂直时，x1=x2=2， 求得M(8，0)，也满足上述方程. 所以点M的轨迹方程是(x-6)2-y2=4. 设椭圆方程为 过点M(0，1)的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足 点N的坐标为 当l绕点M旋转时, 求 的最小值与最大值. 解法1：直线l过点M(0,1),设其斜率为k， 则l的方程为y=kx+1. 记A(x1，y1)，B(x2，y2). 由题设可得点A、B的坐标(x1，y1)、(x2，y2) ① 是方程组 的解,将①代入②并化简, ② 得(4+k2)x2+2kx-3=0，所以 于是 设点P的坐标为(x，y)，则 消去参数k得4x2+y2-y=0.③ 当k不存在时，线段AB的中点为坐标 原点(0，0)，也满足方程③， 所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0. 所以 又 即