3 1 微分中值定理.pptVIP

拉格朗日(Lagrange)中值定理 推论1 如果函数 在区间 上的导数恒为零, 那么 在区间 上是一个常数. 推论1表明: 导数为零的函数就是常数函数. 这一 结论以后在积分学中将会用到. 由推论1立即可得： 推论2 如果函数 与 在区间 上恒有 在区间 上 为常数). 例 6 解 验证函数 在 上满足拉 格朗日中值定理, 并由结论求 值. 在 上连续, 在 可导, 故满足拉格朗日中值定理的条件. 则 即 故 例 7 证 证明 设 即 又 例 8 证 证明当 时, 设 足拉格朗日中值定理的条件. 故 从而 又由 则 在 上满 例 8 证 证明当 时, 例 8 证 证明当 时, 即 柯西(Cauchy)中值定理 柯西(Cauchy)中值定理 闭区间 上连续, 在开区间 内可导, 且 在 内每一点处均不为零, 有一点 使得 证 作辅助函数 如果函数 及 在 那么在 内至少 满足罗尔定理的条件, 柯西(Cauchy)中值定理 证 作辅助函数 满足罗尔定理的条件, 则在 内至少存在 一点 使得 即 证毕. 显然, 当 时, 柯西(Cauchy)中值定理 证 作辅助函数 满足罗尔定理的条件, 则在 内至少存在 一点 使得 证毕. 显然, 当 时, 柯西(Cauchy)中值定理 证 作辅助函数 满足罗尔定理的条件, 则在 内至少存在 一点 使得 证毕. 显然, 当 时, 柯西中值定理化为拉格朗日中值定理. 例 9 解 验证柯西中值定理对函数 在区间 上的正确性. 函数 连续, 在开区间 内可导, 且 于是 满足柯西中值定理的条件. 由于 在区间 上 解 由于 解 由于 令 得 取 成立. 这就验证了柯西中值定理对所给函数在所给区间 上的正确性. 则等式 内容小结 中值定理的条件和结论 名称 条件 结论 罗尔 定理 拉格 朗日 定理 柯西 定理 在 上连续 (1) 在 (2) 内可导 (3) 在 上连续 (1) 在 (2) 内可导 在 上连续 (1) 在 (2) 内可导 使得 使得 使得 * * * 第三章 中值定理与导数的应用 一、中值定理 二、洛必达法则 三、泰勒公式 四、函数的单调性与凹凸性 五、函数的极值与函数图形的描绘 六、弧微分与曲率 二、罗尔定理 三、拉格朗日中值定理 一、费马引理 四、柯西中值定理 第一节 中值定理 首先我们观察一个几何事实: A B 如果f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且 即在曲线AB上至少存在一点C,在该点处的切线是水平的。 如右图所示 则在(a,b)内，至少存在点?(? 1或?2 ), 有 罗尔(Rolle)定理 若函数 在 续， 在开区间 内可导， 且在区间端点的函数值 相等， 即 则在 内至少有一点 使 上连 闭区间 例如， 因为f(x)在 上连续， 在 上可导， 且 取 则有 罗尔定理的条件与结论 罗尔定理的三个条件是十分重要的, 如果有一个不 满足, 定理的结论就可能不成立. 下面分别举例说 明之: 易见函数 断, 不满足闭区间连续的条件, 1. 在闭区间 [0,1] 的左端点 处间 尽管 在开区间 (0,1) 内 存在, 且 切线. 但显然没有水平 罗尔定理的条件与结论 罗尔定理的三个条件是十分重要的, 如果有一个不 满足, 定理的结论就可能不成立. 下面分别举例说 明之: 罗尔定理的条件与结论 罗尔定理的三个条件是十分重要的, 如果有一个不 满足, 定理的结论就可能不成立. 下面分别举例说 明之: 2. 我们在第二章第一节中已证明过 处是不可导的, 因此不满足在开区间可导的条件, 虽然 在 内是连续的, 且有 但是没有水平切线. 在 函数 罗尔定理的条件与结论 罗尔定理的三个条件是十分重要的, 如果有一个不 满足, 定理的结论就可能不成立. 下面分别举例说 明之: 罗尔定理的条件与结论 罗尔定理的三个条件是十分重要的, 如果有一个不 满足, 定理的结论就可能不成立. 下面分别举例说 明之: 3. 函数 虽然满足在闭 区间[0,1]上连续, 在开区 间(0,1)内可导的条件, 但 显然也没有水平切线. 例 2 对函数 在区间 上 罗尔定理的正确性. 验证 解 显然 在 上连续, 且 而在 内确存在一点 使 在 内可 导, 不求导数， 的导数有几个零点及这些零点所在的范围. 解 因为 所以 在闭 从而， 使 即 是 的一个零点； 使 例 3 判断函数 区间 上满足罗尔定理的三个条件， 、 内至少存在一点 在 又在 内至少存在一点 不求导数， 的导数有几个零点及这些零点所在的范围. 例 3 判断函数 解 使 又在 内至少存在一点 即 是 的一个零点； 即 是 的一个零点； 又因为 为二次多项式， 故 恰好有两个零点， 不求导数， 的导数有几个零点及这些零点所在的范围.