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* 3.1.3导数的 几何意义1 高二数学 选修1-1 第三章 导数及其应用 一、复习 导数的定义 其中：⑴ 其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。 其几何意义是？ P Q o x y y=f(x) 割线 切线 T 一、曲线上一点的切线的定义 结论:当Q点无限逼近P点时,此时 直线PQ就是P点处的切线PT. 点P处的割线与切线存在什么关系？ 新授 x o y y=f(x) 设曲线C是函数y=f(x)的图象， 在曲线C上取一点P(x0,y0) 及邻近一 点Q(x0+△x,y0+△y) ,过P,Q两点作割 线， 当点Q沿着曲线无限接近于点P 点P处的切线。 即△x→0时, 如果割线PQ有一个极 限位置PT, 那么直线PT叫做曲线在 曲线在某一点处的切线的定义 △x △y P Q T 此处切线定义与以前的定义有何不同？ 圆的切线定义并不适用于一般的曲线。 通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。 x o y y=f(x) P(x0,y0) Q(x1,y1) M △x △y 割线与切线的斜率有何关系呢？ 即：当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率， x o y y=f(x) P Q1 Q2 Q3 Q4 T 继续观察图像的运动过程，还有什么发现？ 当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 即: 这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限. 要注意,曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. 函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 . 故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是: 题型三：导数的几何意义的应用 例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数. （2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. 题型三：导数的几何意义的应用 h t o 二、函数的导数： 函数在点 处的导数 、导函数 、导数 之间的区别与联系。 1）函数在一点 处的导数 ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。 2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 3）函数在点 处的导数 就是导函数 在 处的函数值，这也是 求函数在点 处的导数的方法之一。 课堂练习: 如图（见课本P80.A6）已知函数的图像，试画出其导函数图像的大致形状。 P80.B2：根据下面的文字叙述，画出相应的路程关于时间的函数图像的大致形状。 （1）汽车在笔直的公路上匀速行驶； （2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶； （3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶；