21 4 1平面向量数量积整理.pptVIP

投影 P116 例4 例4 小结： 1. 2. 4、已知a、b都是非零向量，且a + 3 b 与7 a – 5 b 垂直，a – 4 b 与7 a – 2 b垂直，求a与b的夹角。  解：∵ （a + 3 b ）⊥（7 a – 5 b） （a – 4 b ）⊥（7 a – 2 b ） ∴ （a + 3 b ）·（7 a – 5 b） =0 且 （a – 4 b ）· （7 a – 2 b ）=0 即 7a ·a + 16 a ·b – 15 b · b =0 7a ·a - 30 a · b + 8 b ·b =0 两式相减得： 2 a ·b = b 2， 代入其中任一式中得: a 2= b 2 cosθ= * * * * * * * * * 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 一般地，实数λ与向量a 的积是一个向 量，记作λa，它的长度和方向规定如下： (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ0时,λa 的方向与a方向相同； 当λ0时,λa 的方向与a方向相反； 特别地，当λ=0或a=0时, λa=0 设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ① λ(μa)=(λμ) a ② (λ+μ) a=λa+μa ③ λ(a+b)=λa+λb 已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°）叫做向量a与b的夹角。 O B A θ 当θ＝0°时，a与b同向； O A B 当θ＝180°时，a与b反向； O A B B 当θ＝90°时，称a与b垂直， 记为a⊥b. O A a b 我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图） θ F S 力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。 已知两个非零向量a与b，它们的 夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积（或内积），记作a·b a·b=|a| |b| cosθ 规定:零向量与任一向量的数量积为0。 |a| cosθ（|b| cosθ）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。 注意：向量的数量积是一个数量。 向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？ a·b=|a| |b| cosθ 当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正； 当90°＜θ ≤180°时a·b为负。 当θ =90°时a·b为零。 设 是非零向量， 方向相同的 单位向量， 的夹角，则 特别地 O A B θ a b B1 解：a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120° =5×4×（-1/2）= －10 例2 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。 例3 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。 解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 ° ∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° = 2 O A B θ |b|cosθ a b B1 等于 的长度 与 的乘积。 θ O O θ O 练习： 1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0． 2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0． 3．若a ≠0，a · b =0，则b=0 4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0． 5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c 6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a=0 时成立． 7．对任意向量 a 有 √ × × × × × √ 二、平面向量的数量积的运算律： 数量积的运算律： 其中， 是任意三个向量， 注： 则 (a + b) ·c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c|