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2012新高考全案第2章函数与基本的初等函数第9讲函数与方程整理
一、方程的根与函数的零点 1.对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的 . 2.函数y=f(x)的 就是方程f(x)=0的 ,亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的 . 即:方程f(x)=0有 ?函数y=f(x)的图象与x轴有 ?函数y=f(x)有 . 3.求函数y=f(x)的零点 (1)(代数法)求方程f(x)=0的 . (2)(几何法)结合函数y=f(x)的图象,并利用函数的性质找出 . 4.零点存在性定理 函数在区间[a,b]上的图象是 的,且 ,那么函数f(x)在区间[a,b]上至少 . 5.一元二次方程根的分布 设x1、x2 是实系数二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两实根,则x1、x2的分布范围与二次方程系数之间的关系如下表所示: 二、用二分法求方程的近似解 对于在区间[a,b]上连续,且满足 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ,使区间的两个端点 ,进而得到零点近似值的方法叫做 . 给定 ,用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下: 1.确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)0,给定精度ξ. 2.求区间(a,b)的 x1. 3.计算f(x1): (1)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点. (2)若 ,则令 (此时零点x0∈(a,x1). (3)若 ,则令 (此时零点x0∈(x1,b). 4.判断是否达到精度ξ 即若 ,则得到零点的 ;否则重复步骤2~4. 1.(2010·天津,4)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) [解析] f(0)=e0+0-2=-1<0, f(1)=e+1-2=e-1>0, ∵y=ex是单调增函数,y=x-2是增函数, ∴f(x)=ex+x-2在R上是增函数, ∴在(0,1)区间上f(x)存在一个零点.故选C. [答案] C 2.函数图象与x轴均有公共点,但不能用二分法求公共点横坐标的是( ) [答案] B 3.(2010·广东六校联考)方程x2+2x-a=0在[-1,1]上有解,则a的取值范围是________. [答案] [-1,3] 已知函数f(x)=3x-x2.问:方程f(x)=0在区间[-1,0]内有没有实数解?为什么? [分析] 要判断f(x)在某个区间上是否有解,可先确定f(x)在这个区间上是否有零点. [点评与警示] 函数零点的存在性常用方法,一是用零点定理,二是解方程,三是用图象;而求函数零点就是求相应方程的实数根;确定零点个数时,要注意重根时的表述. [解析] 当x≤0时,由x2+2x-3=0解得x=1或-3,则f(x)在(-∞,0]上有1个零点;当x>0时,由-2+ln x=0解得x=e2,则f(x)在(0,+∞)上有1个零点,所以f(x)共有2个零点,故选B. [答案] B 若关于x的方程x2-2ax+2+a=0有两个不相等的实根,分别满足下列条件,求a的取值范围. (1)方程的两根都大于1; (2)方程一根大于1,另一根小于1. [点评与警示] 二次方程根的分布问题,常借助二次函数的图示进行等价转化,先作出二次函数的大致图象,然后列出相应满足条件的不等式组,使问题得到解决. 已知一元二次方程2x2-(m+1)x+m=0有且仅有一实根在(0,1)内,求m的范围. [解] 设f(x)=2x2-(m+1)x+m 由f(0)·f(1)0?m0. (北师大版高中数学必修1改编) 求函数f(x)=x3-x-1在区间[1,1.5]内的一个零点,(精确到0.01). [解] ∵f(1)0 f(1.5)0 ∴f(x)在区间[1,1.5]存在零点 用二分法逐次计算列表如下: ∵|1.3203125-1.328125|=0.0050.01 至此可以看出,函数的零点落在区间长度小于0.01的区间[1.3203125,1.328125]内,因为该区间的所有值精确到此为0.01都是1.32,因此1.32是函数f(x)=x3-x-1精确到0.01的一个近似零点. [点评与警示] 用二分法求函数零点近似值的步骤,借助于计算器一步步求解即可,我们可以借助于表格和数轴,清楚地描写逐步缩小零点所在区间的过程,而运算终止的时候就在区间长度小于精确度ε的时候. 求方程lnx+x-3=0在(2,3)的近似解(结果精确到0.1) [解]
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