2012新高考全案 第2章 函数与基本的初等函数 第9讲 函数与方程.pptVIP

一、方程的根与函数的零点 1．对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的 ． 2．函数y＝f(x)的 就是方程f(x)＝0的 ，亦即函数y＝f(x)的图象与x轴交点的 ． 即：方程f(x)＝0有 ?函数y＝f(x)的图象与x轴有 ?函数y＝f(x)有 ． 3．求函数y＝f(x)的零点 (1)(代数法)求方程f(x)＝0的 ． (2)(几何法)结合函数y＝f(x)的图象，并利用函数的性质找出 ． 4．零点存在性定理 函数在区间[a，b]上的图象是 的，且 ，那么函数f(x)在区间[a，b]上至少 ． 5．一元二次方程根的分布 设x1、x2 是实系数二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的两实根，则x1、x2的分布范围与二次方程系数之间的关系如下表所示： 二、用二分法求方程的近似解 对于在区间[a，b]上连续，且满足 的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点 ，进而得到零点近似值的方法叫做 ． 给定 ，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下： 1．确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0，给定精度ξ. 2．求区间(a，b)的 x1. 3．计算f(x1)： (1)若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点． (2)若 ，则令 (此时零点x0∈(a，x1)． (3)若 ，则令 (此时零点x0∈(x1，b)． 4．判断是否达到精度ξ 即若 ，则得到零点的 ；否则重复步骤2～4. 1．(2010·天津，4)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　　) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) [解析]　f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0， f(1)＝e＋1－2＝e－1＞0， ∵y＝ex是单调增函数，y＝x－2是增函数， ∴f(x)＝ex＋x－2在R上是增函数， ∴在(0,1)区间上f(x)存在一个零点．故选C. [答案]　C 2．函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是(　　) [答案]　B 3．(2010·广东六校联考)方程x2＋2x－a＝0在[－1,1]上有解，则a的取值范围是________． [答案]　[－1,3] 　已知函数f(x)＝3x－x2.问：方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？为什么？ [分析]　要判断f(x)在某个区间上是否有解，可先确定f(x)在这个区间上是否有零点． [点评与警示]　函数零点的存在性常用方法，一是用零点定理，二是解方程，三是用图象；而求函数零点就是求相应方程的实数根；确定零点个数时，要注意重根时的表述． [解析]　当x≤0时，由x2＋2x－3＝0解得x＝1或－3，则f(x)在(－∞，0]上有1个零点；当x＞0时，由－2＋ln x＝0解得x＝e2，则f(x)在(0，＋∞)上有1个零点，所以f(x)共有2个零点，故选B. [答案]　B 若关于x的方程x2－2ax＋2＋a＝0有两个不相等的实根，分别满足下列条件，求a的取值范围． (1)方程的两根都大于1； (2)方程一根大于1，另一根小于1. [点评与警示]　二次方程根的分布问题，常借助二次函数的图示进行等价转化，先作出二次函数的大致图象，然后列出相应满足条件的不等式组，使问题得到解决． 已知一元二次方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有且仅有一实根在(0,1)内，求m的范围． [解]　设f(x)＝2x2－(m＋1)x＋m 由f(0)·f(1)0?m0. 　 (北师大版高中数学必修1改编) 求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点，(精确到0.01)． [解]　∵f(1)0　f(1.5)0 ∴f(x)在区间[1,1.5]存在零点 用二分法逐次计算列表如下： ∵|1.3203125－1.328125|＝0.0050.01 至此可以看出，函数的零点落在区间长度小于0.01的区间[1.3203125,1.328125]内，因为该区间的所有值精确到此为0.01都是1.32，因此1.32是函数f(x)＝x3－x－1精确到0.01的一个近似零点． [点评与警示]　用二分法求函数零点近似值的步骤，借助于计算器一步步求解即可，我们可以借助于表格和数轴，清楚地描写逐步缩小零点所在区间的过程，而运算终止的时候就在区间长度小于精确度ε的时候． 求方程lnx＋x－3＝0在(2,3)的近似解(结果精确到0.1) [解]