第二节柯西定理.ppt

* * §2 柯西定理 （一）单连通区域情形 单连通区域：在其中作任何简单的闭合曲线，曲线内的点都 属于该区域。 柯西定理 也可以是边界，则有 证明： 由于f(z)解析，因此 连续，对上式右端分别 应用格林公式 将回路积分化为面积分，可得 但由于f(z)解析，实部u和虚部v满足柯西－黎曼条件 故可得积分 注： 柯西定理的推广 等于0，柯西逆定理不成立 （二）复通区域情形 奇点：如果函数在某点（或子区域）上不解析（不可导或不连续 或没有定义）；孤立奇点：若函数在奇点的某个去心邻域内解析； 为将奇点排除在区域的外边，需要作一些适当的闭合曲线把奇点 分离出去，形象地说把这些奇点挖掉而形成某种带孔的区域， 即复通区域。 复通区域：在某区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不 属于该区域的点。 对于区域的境界线，这样规定正方向：当观察者沿着这个方向 前进时，区域总是在观察者的左边。 复通区域柯西定理 如果f(z)是闭复通区域上的单值解析函数，则 其中， 为区域外境界线，各 为区域内境界线，积分均沿境界 线的正方向进行。 证明 考虑图中 ， 为境界的 复通区域(只画出了两个)作割线连接内外 境界线,原来的复通区域变成了单通区域, 而在单通区域上f(z)是解析的,按照单通区域 柯西定理 其中沿同一割线边缘的积分值相互抵消,则有 此即所求结论 结论可以写成 即 注意箭头方向! 沿境界线逆时针方向积分相等! 注: 1.闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零 2.闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向积分 和为零 由本章§1的例2知， 3.闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向积分 等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和. 4.对于某个闭单通或闭复通区域上为解析的函数,只要起点和 终点固定不变,当积分路径连续变形(不越过奇点)时,函数的 路积分的值不变!（闭路变形原理） . . 作业: * * * * * *