2017届高考数二轮复习第2部分专题五解析几何1圆锥曲线中的最值范围问题限时速解训练文.docVIP

限时规范训练七　圆锥曲线中的最值、范围问题 (建议用时45分钟) 解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 1．如图，已知抛物线C1：x2＝2py的焦点在抛物线C2：y＝eq \f(1,2)x2＋1上． (1)求抛物线C1的方程及其准线方程； (2)过抛物线C1上的动点P作抛物线C2的两条切线PM，PN，切点为M，N.若PM，PN的斜率乘积为m，且m∈[2,4]，求|OP|的取值范围． 解：(1)C1的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，所以eq \f(p,2)＝0＋1，p＝2. 故C1的方程为x2＝4y，其准线方程为y＝－1. (2)任取点P(2t，t2)，设过点P的C2的切线方程为y－t2＝k(x－2t)． 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－t2＝k?x－2t?，,y＝\f(1,2)x2＋1))得x2－2kx＋4tk－2t2＋2＝0. 由Δ＝(－2k)2－4(4tk－2t2＋2)＝0， 化简得k2－4tk＋2t2－2＝0， 设PM，PN斜率分别为k1，k2，则m＝k1k2＝2t2－2， 因为m∈[2,4]，所以t2∈[2,3]， 所以|OP|2＝4t2＋t4＝(t2＋2)2－4∈[12,21]， 所以|OP|∈[2eq \r(3)，eq \r(21)] 2．(2016·河北石家庄市模拟)在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))且与直线x＝－eq \f(1,2)相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)设P是曲线E上的动点，点B、C在y轴上，△PBC的内切圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，求△PBC面积的最小值． 解：(1)由题意可知圆心到eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距离等于到直线x＝－eq \f(1,2)的距离，由抛物线的定义可知，曲线E的方程为y2＝2x. (2)法一：设P(x0，y0)，B(0，b)，C(0，c)， 直线PB的方程为：(y0－b)x－x0y＋x0b＝0， 又圆心(1,0)到PB的距离为1， 所以eq \f(|y0－b＋x0b|,\r(?y0－b?2＋x\o\al(2,0)))＝1， 整理得：(x0－2)b2＋2y0b－x0＝0， 同理可得：(x0－2)c2＋2y0c－x0＝0， 所以b，c是方程(x0－2)x2＋2y0x－x0＝0的两根， 所以b＋c＝eq \f(－2y0,x0－2)，bc＝eq \f(－x0,x0－2)， 依题意bc0，即x02， 则(b－c)2＝eq \f(4x\o\al(2,0)＋4y\o\al(2,0)－8x0,?x0－2?2)， 因为yeq \o\al(2,0)＝2x0，所以|b－c|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2x0,x0－2)))， 所以S＝eq \f(1,2)|b－c|x0＝(x0－2)＋eq \f(4,x0－2)＋4≥8， 当x0＝4时上式取得等号， 所以△PBC面积的最小值为8. 法二：设P(x0，y0)，直线PB：y－y0＝k(x－x0)，由题意知PB与圆(x－1)2＋y2＝1相切，则 eq \f(|k＋y0－kx0|,\r(k2＋1))＝1，整理得： (xeq \o\al(2,0)－2x0)k2＋2(1－x0)y0k＋yeq \o\al(2,0)－1＝0， k1＋k2＝－eq \f(2?1－x0?y0,x\o\al(2,0)－2x0)，k1k2＝eq \f(y\o\al(2,0)－1,x\o\al(2,0)－2x0)， 依题意x02， 则|yB－yC|＝|(y0－k1x0)－(y0－k2x0)＝|k1－k2|x0， 又|k1－k2|＝eq \f(2,|x0－2|)，则|yB－yC|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2x0,x0－2)))， 所以S＝eq \f(1,2)|yB－yC||x0|＝(x0－2)＋eq \f(4,x0－2)＋4≥8，当且仅当x0＝4时上式取得等号， 所以△ PBC面积的最小值为8. 3．已知圆E：x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝eq \f(9,4)经过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)的左、右焦点F1，F2且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线．直线l交椭圆C于M，N两点，且eq \o(MN,\s\up12(→))＝λeq \o(OA,\s\up12(→))(λ≠0)． (1)求椭圆C的方程； (2)当