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第二章 点 估 计 数理统计的基本问题是根据子样所提供的信息，对母体的分布及分布的数字特征等作出 统计推断的问题。这个问题中的一类是母体的分布类型已知，而它的某些参数未知。本章要 研究这类问题，只要对参数作出推断就能够对母体分布作出推断，这类问题称为参数估计问 题。 我们只研究母体分布是连续型和离散型两种情形，为了方便起见，引入一个对两种情形都通 ( ) 用的概念——概率函数。称随机变量ξ 的概率函数为f x 的意思是指：在连续型情形时， ( ) ( ) f x 是ξ x 的密度函数值；在离散型情形时，f x 是ξ x 的概率。 §2.1 点估计的方法 由大数定理知：子样矩依概率收敛于母体矩，又在许多分布中所含的参数都是矩的函数， 例如正态分布 ( 2 ) 2 N µ,σ 中的参数 和 就是分布的一阶原点矩和二阶中心矩。因此 自然 µ σ 用子样具体代母体矩，从而得到母体分布中参数的一种估计。这种估计方法称为矩法。它的 思想实质是采用子样的经验分布和子样矩去替代母体的分布和母体矩的原则，这种原则称为 替换原则。 一、矩法估计 k 设母体ξ 具有已知类型的概率函数 f (x ;θ ,θ ,Lθ ), (θ ,θ ,Lθ ) ∈Θ是 个未知参 1 2 n 1 2 n k k 数，ξ ,ξ ,L,ξ 是取自的一个子样。假设的 阶矩v Eξ 存在，显然v ,j k 都存在， 1 2 n k j 1 n 并且是θ ,θ ,Lθ 的函数v (θ ,θ ,Lθ ) 。子样的j 阶矩为ξj ∑ξj 我们设 1 2 n j 1 2 n i n i 1 v (θ ,θ ,Lθ ) =ξj ，j 1,2,L,k （2.1 ） j 1 2 n k k 得到含 个未知数的个方程式。解这个 联列方程组就可以得到θ ,θ ,Lθ 的一组解： 1 2 n ˆ ˆ θ θ (ξ ,ξ , L,ξ ), i 1,2,L,k (2.2) i i 1 2 n