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【2017年整理】中南大学高数2.5方向导数与梯度重要例题
设 求 f 沿e = (cosθ , sin θ) 在点 (0,0)的方向导数. 当 cosθ ≠0 时, 当 cosθ = 0时, 因为 f ( cosθ , sin θ) = 0 用定义计算方向导数 解 例1 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 用定理计算方向导数 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例3. 设 z = 3x4 +xy +y3 , 求z 在M (1,2)点处 沿方向角为=135° 的方向的方向导数。 解 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例4. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 3) 的方向导数 . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 向导数值都等于 1: 的两个偏导数均不存在, 但它在该点 沿任何方向的方向导数均存在, 且方 此例说明: 1. 方向导数存在时, 偏导数不一定存在. 2.可微是方向导数存在的充分条件, 而不是 必要条件P80-2,7. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. ∵ ∴ 从而 解 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解 由梯度计算公式得 故 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 备用题 1. 函数 在点 处的梯度 解: 则 注意 x , y , z 具有轮换对称性 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 指向 B( 3, -2 , 2) 方向的方向导数是 . 在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A 2. 函数 提示: 则 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 故 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例3. 设 是曲面 在点 P(1, 1, 1 )处 指向外侧的法向量, 解: 方向余弦为
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