基于受迫振动的连续结构的拓扑设计汇总.docxVIP

基于受迫振动的连续结构的拓扑设计 Niels Olhoff, Jianbin Du 1.摘要 本文章用来解决弹性连续结构在无阻尼下的拓扑设计优化问题，即没有基于简谐以及与设计无关（或相关）具有规定频率和振幅的动力载荷。这类设计问题的一个重要目标是经常使结构的固有频率与规定载荷的频率尽可能远，这样是为了避免共振和减小结构振级。在文章中这个目标是通过使基于给定载荷频率的结构的动柔度最小化来实现的，利用容许设计域内有限个单元的材料体密度作为设计变量，然后应用SIMP模型惩罚在设计中的中间材料密度。其中边界条件、整个结构体积以及材料都是给定的。并且只有低于结构在自由振动中二阶固有频率最优值的载荷频率会在文章中讨论。 2.关键字：拓扑优化 动柔度 振级 载荷频率 3.简介 拓扑优化的方法在1988年第一次出现在文献中,并最初用来确定在容许设计域内弹性材料的分布，其中设计域是基于规定数量材料在给定静态载荷下最可能的结构，这部分内容详见参考文献[1]和[2]。与通常的尺寸和形状优化相比，拓扑优化利用更多设计自由度，因此它允许结构中生成新的孔和连接关系，并以此对优化结果有决定性影响。因此拓扑优化对尺寸和形状优化来说是一个重要的预处理工具（内容详见参考文献[3]）。在过去十年间，这种方法已经扩展到处理多设计目标和约束问题。因此，拓扑优化方法在自动化和航空宇航工业中已经成为多组件组合问题或整体结构分析的标准化工具。并且，它也正在迅速地渗透到其他工程设计学科。读者可以通过查阅Bends?e 和 Sigmund [4]写的详细教材以及Eschenauer 和Olhoff [5]写的综述文章来获得这种方法最近的发展状况。 就像顺应性在静态结构设计中的概念一样，动柔度是一种完全整体的结构动力学响应方法。它是以结构的动柔度最小（或动刚度最大）为目标的拓扑优化问题，其中结构承受外部给定频率和振幅的简谐载荷，这部分在参考文献[6]和[7]中已有研究。另外，基于短暂外部载荷的拓扑设计在参考文献[8]中已有研究，其中动柔度被定义为与规定时间间隔有关。 基于简谐动态载荷的结构拓扑优化可能出现的问题是在结构的动柔度被优化的过程中结构的静柔度（在相同振幅但是频率为零的情况下）会增加到一个非常高的水平（详见参考文献[9]）。在极端情况下，静柔度会趋于无穷，这反映出在设计过程中结构已经破坏。然而，我们已经发现动态问题的设计目标可以沿着不同的优化路径实现，并且通过选择合适的路径来避免上面提到的问题是可能的。因此，在本文章中，一种在动态性能优化过程中约束或减小结构静柔度的方法是所被推荐的。通过连续化手段而出现的一种算法被用来解决这种最优化设计问题，其中连续化技术指载荷频率从足够小的初始值逐渐增大到规定值。许多例子证明了这种方法的有效性。 作为传统拓扑优化方法的延伸，我们的研究也包括与结构设计相关的动态载荷情况，也就是当拓扑结构改变的时候，载荷的方向和位置也将改变。这类方法是被聘去解决与这类载荷相关问题的Hammer 和 Olhoff所提出的（内容详见参考文献[10] ,[11],以及[12],[13]）。在文章的结尾有一些作为例子的最优拓扑结果，这些都是关于与设计相关和无关载荷的案例。 4.使动柔度最小化的拓扑设计问题公式 对于一个求解完整结构动柔度最小值的连续结构（无阻尼）拓扑优化问题可以被公式化为如下离散形式： min Cd=PTU ρe Subject to : K-ωp2MU=P （1） e=1NEρeVe-V*≤0 ，V*=αV0 0≤ρ≤ρe≤1 ，e=1,…,Ne 动柔度等于外部动态力抵抗相应位移所做的功，并且与（1）式中的Cd 成比例。其中，U表示简谐振动稳态下的位移振幅矢量，P表示外载荷大小矢量。简谐外载荷p(t)与给定的激振频率ωp可以被表示为pt=Peiωpt,位移响应矢量可以表示为at=Ueiωpt。符号K和M表示N维结构刚度和质量矩阵，其中N等于自由度的个数。符号ρe为问题中的设计变量并表示单元e的材料体密度。符号α表示可用材料的体积分数，其由V*/V0得到，其中V0是容许设计域的体积，V*是可用材料的规定总体积。符号NE表示有限单元的总个数。 值得注意的是动刚度Kd= K-ωp2M ，当载荷频率ωp有一个高值，例如比结构的基础固有频率高，Kd将会变成一个负的确定值。在这种情况下，外载荷矢量振幅与结构响应位移矢量的乘积将得到一个负值，因此为了在我们问题公式中包含这种可能性，我们用上面乘积的绝对值作为我们问题中的动柔度，详见公式（1）。在问题（1）约束中列出的第一个公式是动力学状态方程，其可以通过高斯消去法直接求解或者用模式叠加的方式求解。 4.1 SIMP材料模型 SIMP插值模型