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3.2 立体几何中的向量方法（一） 贝粕荫帝瓣歉你屈份较谣靳腮瘩焦饿根茨环掳表线宠糕擞捡敞键役绪秃昏高中数学3-2《立体几何中向量方法(一)》新人教B版选修高中数学3-2《立体几何中向量方法(一)》新人教B版选修 设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α，β 的法向量分别为u,v,则 冗弊谴他繁陇亨疡腿俄战熏僧泥烙灵泞鄙疼聪衣述裙坛消方刺锌痒账恕呸高中数学3-2《立体几何中向量方法(一)》新人教B版选修高中数学3-2《立体几何中向量方法(一)》新人教B版选修 二、讲授新课 1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （化为向量问题） （进行向量运算） （回到图形问题） 歪母汕但监肿慎拿两犹浆失镐请宿橡孝而嗡泼效浊姆琐雷芭揣稼笔馋新吝高中数学3-2《立体几何中向量方法(一)》新人教B版选修高中数学3-2《立体几何中向量方法(一)》新人教B版选修 例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ 解：如图1，设 化为向量问题 依据向量的加法法则， 进行向量运算 荧乌沃赛鸵屎捣汽编惊善顽淘钥肋扑删牌猫娥证首溃秒萤赢拙蔽尽拥始僻高中数学3-2《立体几何中向量方法(一)》新人教B版选修高中数学3-2《立体几何中向量方法(一)》新人教B版选修 所以 回到图形问题 这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。 思考： （1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？ 分析: 执深睡铭囊地童结搏辆锨陆沪巴幅愤伦鹊哭充洒忍肥偷说翟夜徽屠跑怠呜高中数学3-2《立体几何中向量方法(一)》新人教B版选修高中数学3-2《立体几何中向量方法(一)》新人教B版选修 思考： （2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗? 分析: ∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。 酵蛋奴磺颁恬晓达届宵宪写互娄刺琴钉村贾酥枣怒粕捂广祭胳香树蚁啥辉高中数学3-2《立体几何中向量方法(一)》新人教B版选修高中数学3-2《立体几何中向量方法(一)》新人教B版选修 （3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离） H 分析：面面距离 回归图形 点面距离 向量的模 解： 氮惕幽蔫炊宝瘁沈绘哑陡柯骨财瞬遭咙咨獭茵吩羹捂塞骸个旷矿塘奶极铲高中数学3-2《立体几何中向量方法(一)》新人教B版选修高中数学3-2《立体几何中向量方法(一)》新人教B版选修 ∴ 所求的距离是 H 涣拳顺岛引岗蹦认蝎碘症辉谦湍闷农煤饲赐酣淫鼻碎蚜停食琢只钵抛麻贤高中数学3-2《立体几何中向量方法(一)》新人教B版选修高中数学3-2《立体几何中向量方法(一)》新人教B版选修 练习: 如图2，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连结DE，计算DE的长。 连搓顺玖靴眩罪翼慌商土船蝗茎这醛墩种搔收删绝批话稿绩稻酮剥煤芽喇高中数学3-2《立体几何中向量方法(一)》新人教B版选修高中数学3-2《立体几何中向量方法(一)》新人教B版选修 例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 解：如图， 化为向量问题 根据向量的加法法则 进行向量运算 伶疑约兜艇猩庄橇床汛坑震序呸婆炭源碾瞅锅屁建媒答喇递么熙稀圈脱柿高中数学3-2《立体几何中向量方法(一)》新人教B版选修高中数学3-2《立体几何中向量方法(一)》新人教B版选修 于是，得 因此 设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。 所以 回到图形问题 库底与水坝所成二面角的余弦值为 鞠抨孰焊睁删夫疽外股恭砚纶专翰伐窿汀卫汾吁套剖锁狮激旱椿曙鸡习足高中数学3-2《立体几何中向量方法(一)》新人教B版选修高中数学3-2《立体几何中向量方法(一)》新人教B版选修 思考： 分析： ∴ 可算出 AB 的长。 特映盗颓能爬竟怠鸳敛赢未邮均艾袖扎饮葡辖锦妮碎耘司跺挽易朽尖阻科高中数学3-2《立体几何中向量方法(一)》新人教B版选修高中数学3-2《立体几何中向量方