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* 内容小结 参数估计问题分： 点估计和区间估计, 点估计是适当 参数的估计(称为估计 量). 若已取得一样本, 将样本值代入估计量, 得到 估计量的值, 以估计量的值作为未知参数的近似值 (称为估计值). （1）估计量的评选标准 无偏性 有效性 相合性(一致性) 地选择一个统计量作为未知 无偏性 定义 设 是未知参数 的估计量, 若 则称 为 的无偏估计量. 有效性 定义 设 和 都是参数 的无偏估计量, 若 则称 较 有效. 相合性 定义 设 是未知参数 的估计量, 若 则称 为 的相合估计量. 有 注: 在数理统计中常用到最小方差无偏估计, 义如下: 设 是取自总体 的一个样本, 是未知参数 的一个估计量, 若 满足: (1) (2) 即 为 的无偏估计; 是 的任一无偏估计; 则称 为 的最小方差无偏估计(也称最佳无偏估计). 其定 例1 设总体 样本容量为1. 证明： 不存在无偏估计； 证明 由于 设 的估计 不存在无偏估计。 所以 例2 设总体 是来自这一 总体的样本. (1) 求 解 故 是 的无偏估计. 是 的无偏估计； 证明 (2) (1) (2) 而 因 且它们相互独立, 故依 分布定义 由此知 完 解 (2) 而 因 （2）两种求点估计的方法: 矩估计法 极大似然估计法 矩估计法的做法是, 以样本矩作为总体矩的估计量, 从而得到总体未知参数的估计. 极大似然估计法的做法是, 一般地, 作为总体均值 的估计量, 若对任意给定的样本值 存在 使 则称 为 的极大似然估计值 极大似然估计的一般方法 求未知参数 的最大似然估计问题, 归结为求似然 函数 的最大值点的问题. 当似然函数关于未知 参数可微时, 可利用微分学中求最大值的方法求之. 其主要步骤: (1) 写出似然函数 (2) 令 或 求出驻点; 注: 因函数 是 的单调增加函数, 且函数 与函数 有相同的极值点。 （3）区间估计： 置信区间是一个随机区间 它覆盖未知参数具有预先给定的高概率(置信水平), 即 对于未知参数 的任意可能取值范围, 有 则称随机区间 为 的置信度为 的置信区 间, 称 为置信度, 称 与 为 的置信 下限与置信上限. 寻求置信区间的方法 一般步骤: (1) 选取未知参数 的某个较优估计量 (2) 围绕 构造一个依赖于样本与参数 的函数 (3) 对给定的置信水平 确定 与 在常用分 布情况下, 这可由分位数查表得; (4) 对不等式作恒等变形化为 则 就是 的 的置信区间. 单侧置信区间 定义 设 为总体分布的未知参数, 是 取自总体 的一个样本, 对给定的数 若存在统计量 满足 则称 为 的置信度为 的单侧置信区间, 称 为 的单侧置信下限; 若存在统计量 满足 则称 为 的置信度为 的单侧置信区间, 称 为 的单侧置信上限. 与其它总体相比, 正态总体参数的置信区间是最完 善的, 应用也最广泛, 在构建正态总体参数的置信区间 的过程中, 分布、 分布、 分布以及标准正态分布 扮演了重要角色. 正态总体的置信区 间, 掌握下列情形: 单正态总体均值(方差已知)的置信区间 单正态总体均值(方差未知)的置信区间 单正态总体方差的置信区间 了解下列情形: 双正态总体均值差(方差已知)的置信区间 双正态总体的均值差(方差未知但相等)的置信区间 双正态总体方差比的置信区间 单正态总体的置信区间表 待估参数 条件 统计量 双侧置信区间 单侧置信下(上)限 均值 已知 均值 未知 待估参数 条件 统计量 双侧置信区间 单侧置信下(上)限 方差 方差 已知 已知 *