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线性代数第十讲_向量组及其线性相关性剖析
例 (二)相关性的判定 (1)定义 (2)定理——判定定理 几种特殊的判定定理 (3)其它结论 例1 设 线性无关 证明 也是线性无关的。 例2 设 几种特殊的判定定理 (1)向量组含有零向量 例 思考题 特别地,对于方阵A 向量组 线性相关 * 一 相关性的定义 第十讲 向量组的线性相关性 相关性的判别{ 判别定理 几个特殊定理 三 两个结论 使得 (一) 线性相关与线性无关的定义 设有向量组A: l 1,l2, ??? ,lm, 否则称它线性无关 如果存在不全为零的数 a1,a2,??? ,am 则称向量组A:a1,a2,??? ,am线性相关 l1a1?l2a2? ??? ? lmam? o 相关 例 无关 l1a1?l2a2? ??? ? lmam? o a1,a2,a3 (1)定义判别 证明 :设有一组实数 使得 则 因为 线性无关 a1,a2,a3 故 线性无关 证明 线性相关 证明 :设有一组实数 使得 取 故,向量组 b1,b 2,b 3 线性相关 可以不全为零 定理(判定定理) 向量构成矩阵的秩向量个数 向量组 线性相关 a1,a2,??? ,am 齐次方程组 x1a1? x2a2? ??? ? xm am ?0 有非0解 R(a1 a2 ??? am) 向量个数 其中 (2)定理判别 解 2 -1 3 -1 1 -1 5 1 11 1 2 4 0 -5 -5 0 3 3 0 -9 -9 1 2 4 ~ ~ 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 2 4 例1 判断向量组是否线性相关 向量组 a1,a 2,a 3 线性相关 向量组对应的矩阵为 向量个数3 解 1 -2 3 3 1 -1 0 1 3 1 3 0 0 7 1 0 -10 3 1 3 0 0 7 1 0 0 1 向量组线性无关 例2 判别下列向量组是否线性相关 向量组对应的矩阵为 例3 已知向量组 线性相关,求k=? 解 线性相关 k 2 2 2 2 k 2 k 2 (1)向量组含有零向量 相关 (2) 向量组里两个向量成比例 相关 (3)小组相关 大组相关 (4)低维无关 高维无关 (5)向量的维数向量的个数 相关 相关 (2) 向量组里两个向量成比例 相关 例 若 ... 线性相关 所以存在c1,c2,...ck不全为0,使得 向量组 a1,a 2,……,a k , ak+1,……,a m 若 (3)小组相关 大组相关 (4)低维无关 高维无关 例 线性无关 线性无关 例 线性相关 向量个数为m=4 分量个数为3 3 1 3 2 2 2 3 5 1 7 (5) 向量的个数向量的维数时 相关 结论1 向量组a1,a2,??? ,am线性相关 向量组中至少有一个向量能由其余向量 线性表示 证明 设向量组a1,a2,??? ,am线性相关 则存在l 1,l2, ??? ,lm ,不全为0 使得 l1a1?l2a2? ??? ? lmam?o 不妨假设 则 (三)两个重要结论 结论1 向量组a1,a2,??? ,am线性相关 向量组中至少有一个向量能由其余向量 线性表示 证明 向量组有一个向量(不妨假设为ai) 能由其余向量线性表示 则存在l1, ??? ,lm 使得 所以: 向量组a1,a2,??? ,am线性相关 结论2 如果向量组 线性无关, 而 线性相关 则 能被 表示,且表示式唯一 证明 (1) 因为 线性相关 所以存在 不全为0, 使得 否则 不全为0, 使得 矛盾 (2) 如果向量组 线性无关, 而 线性相关 则
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