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·学术交流 · 故障树分析的数学基础 总体所 李琼哲 摘 要 概率安全分析(Probabilistic Safety Analysis, PSA) 已经在核电厂的安全分析中占据越来越重要的地位，而故障树分 析(Fault Tree Analysis, FTA)是概率安全分析的一个重要组成部分。熟练和准确的理解故障树分析这种方法是每一个 PSA 分析人员的基本技能，这就需要掌握一些起支持作用的数学基础知识，比如集合论、布尔代数、概率论等。在现有 的关于故障树的大部分资料中，也会提及这些数学知识，但是并未明确指导如何在故障树分析中具体应用。同时由于 这几个数学分支的基本概念容易混淆，也对掌握故障树分析法造成了一定的障碍。本文将系统而明确的介绍故障树分 析的数学基础及其应用。 关键词：概率安全分析 故障树分析 集合论 布尔代数 概率论 障树的逻辑结构，需要用到布尔代数的知识。定 1 概述 量分析的任务是通过部件的失效参数计算出系 统的失效概率，主要用到概率论的知识。集合论 故障树分析(FTA)法最初应用于美国的军事 在故障树的分析中虽然很少直接用到，但是对 领域，用于研究民兵导弹发射控制系统的可靠 于理解这布尔代数和概率论的知识起着很重要 性，随后引起科技界的重视并逐渐应用于其它 的作用。 行业，比如航天、电子、核能等。核电厂概率安全 从总体上来看，故障树分析与其所需要的 分析(PSA) 的里程碑WASH-1400 的方法论即包 数学基础知识对应如下图所示。 含了故障树分析法，随着FTA 方法的发展和完 善，这种系统分析方法已经成为核电厂PSA 的 重要工具。 故障树分析法是一种图形化的系统可靠性 分析方法，简单来讲，故障树分析法是把系统最 不希望发生的状态作为系统故障的分析目标， 然后寻找直接导致这一状态发生的全部因素， 再跟踪追击找出造成下一级事件发生的全部直 2 集合论 接因素，直到无需再深究其发生的因素为止。通 过分析找出造成不希望状态发生的所有路径。 集合论是一门独立的数学学科，同时它也 在故障树分析中，把这个最不希望发生的事件 被看做现代数学的理论基础。集合论的思想和 称为 “顶事件”，无需再深究的事件称为 “底事 方法渗透到了数学的各个分支中，可以说现代 件”，也叫 “基本事件”，介于顶事件与底事件之 数学的二十多个分支学科都是建立在集合论的 间的事件称为 “中间事件”。分析中这些事件由 基础上。任何一个数学概念，都能从集合论的概 规定的相应符号表示，并用适当的逻辑门把顶 念出发把它定义出来；任何一条数学定理，都能 事件、中间事件和底事件联结成树形图。这种树 从集合论的公理和定理出发把它推导出来。这 形图称为 “故障树(FaultTree)”。以故障树为工具 充分表明了集合论在数学中的重要作用。 对系统的可靠性进行评价的方法称为 “故障树 集合论中最基础的一些概念和原理，比如 分析法”。 元素与集合的关系，集合与集合的关系，集合之 对故障树的分析主要包括两个方面，定性 间的运算及运算法则等等，在这里就没有必要 分析和定量分析。定性分析的任务是搞清楚故 一一赘述了，需要指出的是准确并且深刻的理 ·64 · 第 期 李琼哲：故障树分析的数学基础 74 解这些概念和定理是理解集合论的基础，也是 以表示为ABC ，这是一个布尔表达式。 利用集合论帮助理