EX9_解答_动态规划建模及求解.docVIP

第九次作业： P137：用动态规划方法求解 3)，7)，10)，16) 1. (1)某单位拟将4中物品从救灾现场抢运到另一城市，其运输工具为一架运输机，且只能运输一趟。该飞机的载重能力为45吨，货仓空间为20立方米。已知4种物品的有关数据如表5.28所示。试为该单位制定总价值最大的运输方案。 表5.28 物品 重量（kg） 体积（） 价值（元） 1 300 0.4 15000 2 200 0.3 8000 3 100 0.2 9000 4 150 0.2 6000 解： （0）阶段与阶段变量：将每种物品的选择作为一个阶段，则4中物品的选择可分为4个阶段，阶段变量k=1,2,3,4；每种物品的单位重量、单位体积和价值为，和。 （1）状态与状态变量：设和分别表示准备确定第k中物品装载量时，剩余可选的载重重量和体积。（kg），；（），。 （2）决策与决策变量：设表示装载第k种物品的数量，则 即装载量不超过载重能力限制和体积限制。 （3）状态转移方程为： （4）阶段效应是第阶段所选物品的价值，即 则目标函数： (5) 动态规划的基本方程为： 2.（4）某公司计划用100万元对其三个分厂进行投资，三个分厂的投资方式各不相同，其投资和收益测算如表5.31所示，试用动态规划方法为该公司制定最佳投资方案（不求解）。 分厂 投资方式 投资数量 预期收益 一分厂 1 15 10 2 20 15 3 30 20 二分厂 1 20 10 2 25 20 3 35 25 4 45 30 三分厂 1 10 6 2 15 11 3 30 18 解： （0）阶段划分：按照三个分厂的投资活动分为三个阶段，阶段变量k=1,2,3; （1）条件1：状态及状态变量 设为k阶段初期拥有的资金量，万元，。状态可能集：。 （2）条件2：决策变量及决策允许集合 设为k阶段对第k个分厂的实际投资方式。，，，。 设第k阶段对第k分厂的投资方式为时，实际投资额为，收益为。 （3）条件3：状态转移方程 （4）条件4：阶段效应和目标函数 （5）动态规划基本方程： 3).某旅行者希望从s地到t地，其间的道路系统如图5.9所示，图上圆圈表示途经的地方，连接两地的箭线表示道路，其上数字表示该道路的长度，箭头表示通行的方向。试求s到t的最短路。 解：方法1——分步计算法（从第3阶段开始） ①当k=3时，，； 若，则， 若，则， 若，则， ②当k=2时，，； 若，则， 若，则， 若，则， ③当k=1时，，； ， 故从s地到t地的最短路线是：即。 最优策略是 目标函数最优值为 方法2：表格法 阶段k 阶段k j决策 i状态集 t 3 d 5+0 5 t e 7+0 7 t f 4+0 4 t d e f 2 a 7+5 4+4 8 d b 5+5 6+7 10 e c 4+5 5+7 6+4 9 f a b c 1 s 9+8 8+10 7+9 16 c 方法3：标号法 7) 某公司拟将50万元投放到下属A,B,C三个企业，各企业在获得资金后的收益如表5.32所示，用动态规划方法求总收益最大的投资分配方案（投资数以10万元为单位）。 投资资金（万元） 0 10 20 30 40 50 收益（万元） A 0 15 20 25 28 30 B 0 0 10 25 45 70 C 0 10 20 30 40 50 解：设是k阶段初期公司拥有的资源量，是k阶段资源的实际投放量。 ①当k＝3时，由确定了状态可能集和决策允许集合，且动态规划基本方程的边界条件为。 (1)当时，0， (2) 当时， ， (3) 当时， ， (4) 当时， ， (5) 当时， ， (6) 当时， ， ②当k＝2时，由确定了状态可能集和决策允许集合。 (1) ， （2） , （3） ， （4） ， （5） ， （6） ， ③当k＝1时，由。 ， 最优策略是：，，；最优路线是：，，； 最优目标函数值：（万元），即50万元全部投资到企业B，该公司可获最大收益70万元。 表格法求解： 阶段k uk Xk 0 10 20 30 40 50 对企业C投资过程 K=3 0 0 0 0 10 0 10 10 10 20 0 10 20 20 20 30 0 10 20 30 30 30 40 0 10 20 30 40 40 40 50 0 10 20 30 40 50 50 50 对企业B的投资过程 K=2 0 0+0 0 0 10 0+10