求解刚性振荡问题的单调隐式Runge-Kutta方法.pdfVIP

摘 要 刚性振荡问题是一类兼具刚性和振荡性两种特性的问题，在航空航天、机械学、 化学动力学、分子动力学等科技工程领域中有广泛应用，研究其高效数值解法有重 要的现实意义。刚性和振荡性的并存给此类问题的求解带来了挑战。人们一直在努 力寻求其高效可行的数值算法。 本文主要是将 Mono-implicit Runge-Kutta (MIRK) 方法应用于刚性高振荡问 题的求解，并在尽量保证精度和稳定性的条件下通过控制方法的弥散误差及耗散误 差来提高方法的有效性。全文共由五章组成。 第一章首先介绍了问题背景、研究动态及前人所取得的成果，而后阐述了本文 的主要工作。 第二章主要从经典收敛阶的角度介绍了 1-4 级MIRK 方法簇。 第三章对第二章的一些方法簇做了 L- 稳定性分析，对于某些公式还考虑了代 数稳定性。 第四章对前面所构造的满足一定阶条件和稳定性的方法进行了弥散误差和耗 散误差分析，并得到了一些具有高阶弥散误差和耗散误差的公式。特别地，我们得 到了两类三级P- 稳定MIRK 公式。 第五章进行了数值实验，实验结果表明了 MIRK 方法求解刚性振荡问题的有 效性。同时我们通过比较发现具有高阶耗散误差的方法比具有高阶弥散误差的方法 更适合于此类问题的求解。 关键词：刚性振荡问题；MIRK 方法；A- 稳定；L- 稳定；弥散误差；耗散误差；P- 稳定 I Abstract Stiff oscillatory problems with two characteristics(i.e., stiffness and oscillation) widely appear in various fields of modern science and technology, such as aerospace, mechanics, chemical dynamics, molecular dynamics etc. The studies in the highly- efficient numerical methods for this kind of problems are of important practical significance. The coexistence of stiffness and oscillation brings challenge to numer- ical solution of this problem. People have been trying to find some efficient and implementable numerical algorithms for these problems all the time. In this paper we mainly consider using mono-implicit Runge-Kutta (MIRK) methods to solve stiff high-oscillatory problems. We make our methods to be highly- efficient through the controlling of the dispersion errors and dissipation errors under certain given conditions of accuracy and stability as much as possible. The full text is composed of five chapters. In chapter 1, we introduce the research background, previous relative results and the main work of this paper. In chapter 2, we introduce MIRK methods of stages 1-4 from the point of classical orders of convergence. In chapte