不定积分学习指导书.docVIP

第？章 定积分 一、本章知识结构 二、本章学法指导 定积分的学习要点在于把握不定积分的概念，认识到不定积分与微分之间的联系。 三、本章教学目标 知识目标：理解不定积分的概念、性质、几何意义；理解不定积分与微分的关系； 能力目标：会用不定积分的换元法与分部积分法求不定积分； 四、重点难点指导 1.重点 不定积分的概念的理解；不定积分与微分的关系的理解；三类积分法的运用； 2.难点 换元积分法与分步积分法的运用。 例1 求下列不定积分： ⑴； ⑵； ⑶； ⑷. 分析： 此类积分形式比较简单，只需经过三角恒等变形或代数运算，就可利用基本公式求解。 解 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 例2 计算. 分析： 被积函数是绝对值函数或分段函数，求其不定积分，应先分别求函数在各段上相应区间内的不定积分，然后利用原函数的连续性，确定各任意常数间的关系，最后用一个任意常数表示其不定积分。 解 因为 于是 由被积函数的连续性，有，即，所以 例3 求下列不定积分： ⑴； ⑵； ⑶； ⑷； ⑸； ⑹. 分析： 使用第一类换元法的关键是“凑”出函数的微分，方法是利用一些常见函数的微分形式。但如果不易直接得到，则可应用拆项、加项、减项、同乘除因子、三角恒等变形等方法将被积函数变形，化简成简单函数后再求不定积分；也可以从被积函数中取出部分表达式，求其导数后寻找规律，再确定如何凑微分。 解 ⑴注意到，且，所以 ⑵降幂法与化同名三角函数是求解形如形式不定积分的基本方法。一般地，若两个函数都是偶次幂，则通过半角公式降幂；若至少有一个函数为奇次幂，则将奇次幂分为一次幂与偶次幂的乘积，化为同名三角函数求解。对本题，由于是奇次幂，且，故原积分可以化成形式，所以 . ⑶将被积函数分成两部分，第一项凑微分得，第二项凑微分得，则 . ⑷这是一个有理函数的积分，但将被积函数分解为部分分式很麻烦，若将分子的1写成，再加一个因式，同时减去该因式，可与分母的两项联系起来；若注意到分母次数高于分子次数，作倒代换，也可简化被积表达式。 方法1 . 方法2 令，则 ⑸本题分母有两项，对分子分母同乘一个因子，可将分母化成单项；也可以用倍角公式将分母化为单项。 方法1 = . 方法2 . ⑹因为，即，所以 . 3.第二类换元积分法 例4 求下列不定积分： ⑴； ⑵； ⑶； ⑷； ⑸； ⑹. 分析： 有些不定积分，不能通过凑微分利用基本公式求解，但可利用变量代换转化积分形式后利用基本积分公式求解。常用的代换方法有： ⑴三角代换与双曲代换。这类代换针对某些特殊的无理根式，如对⑴题作代换或可消去根式。注意作三角代换后应利用辅助三角形进行变量还原。 ⑵根式代换。对某些含有根式的被积函数，通过根式代换可将其转化为有理函数积分，方法是取同形根式中方幂的最小公倍数作为代换形式。如对⑶题作代换. ⑶指数代换。当被积函数中含有指数函数时，用代换可转化积分形式，但常常需要配合其他变换。 ⑷倒代换.如果分别表示被积式中分子分母变量的最高次数，则当时，用倒代换较简。 解 ⑴方法1 令，则 方法2 由被积函数的特点，作倒代换，则 . ⑵方法1 该被积表达式带有根号，作变量代换，先去掉根号。令 =t，则x=, . 方法2 将被积函数分子有理化，再令，则 . ⑶为去掉被积函数中的根号，令，则 . ⑷方法1 被积式中含有指数函数，令，则 ， 再令，于是 . 方法2 第二类换元积分法主要是去掉根式，为此令，则 . 方法3 变量代换往往不惟一，令，则 . ⑸注意到分母中的次幂高于分子中的次幂，令，则 . ⑹对第二类换元积分法，除了常用代换外，有时根据被积函数特点采用特殊代换，也可以简化积分。对本题，令，则