关于秩-3矩阵的Yang—Baxter型矩阵方程的交换解.pdfVIP

2016正 赣 南 师 范 大 学 学 报 No．6 第六期 JournalofGannanNormalUniversity Dec．2016 · 计算方法 · 关于秩一3矩阵的Yang—Baxter型 矩阵方程的交换解 周端美，丁佳文 (赣南师范大学数学与计算机科学学院，江西 赣州 341000) 摘 要：今A是一个特征值为0，秩为3的矩阵，本文给 出矩阵方程AXA=XAX的所有交换解 关键词 ：Yang—Baxter矩阵方程 ；Jordan标准型：秩 中图分类号：0151．21 文献标志码：A 文章编号 ：1004—8332(2016)06—0001—07 1 引言 在 1967年 12月，杨振宁教授发表了一篇关于简单一维多体问题的论文_1j，并引人方程 (“)B(“+v)a()=B(v)a(“+ )B(u)， (1) 其中A和 是有理函数．5年后，R．J．Baxter在研究一些经典二维统计力学问题时同样独立给出了这个方 程 ．之后这方程被定义为Yang--BaxterEquation(YBE)．由 (1)式，还导出了不同形式的YBE．设 V是复 向量空间，R(u)是u∈C的取值于End(VoV)中的函数．关于R(u)的下述方程就称为YBE： R12(u)R13(U+V)R23()=R23()R13(U+V)R12(U) 这里R表示V 的如下的矩阵：它作用在第 i个与第j个分量上相当于R(u)，作用在另一个分量上相当于 恒等映射；例如R：，(“)=IoR(U)，变量u称为谱参数．(1)式的解常常称作R矩阵． 自从YBE由杨振宁(1967) 和巴克斯特(R．J．Baxter1972) 分别独立引入到物理学中，它一直是作 为统计力学与量子场论中可积模型的主要方程在研究．在其它领域，如C 一代数，环链不变量，量子群和保 形场论等也有很多应用 一 ，这使 YBE的重要性更加突出，并引起了许多人的兴趣．近年来，研究者发现 YBE和量子信息、拓扑量子计算有着紧密的联系．随着量子信息和量子计算的快速发展，量子信息理论被当 作一种重要的物理资源引起越来越多的关注．从而YBE及其相关的数学物理性在近几年已成为理论物理和 数学物理研究领域的前沿分支之一，它包含了极为丰富的物理内容．借助 幺正的YBE来研究量子纠缠、量子 信息传输 以及拓扑量子计算成为了比较热门的研究课题．该分支领域的研究极大的丰富了以YBE为中心的 理论．然而，这样一个简单的矩阵方程却还没有在矩阵论中得到很好的研究 ．下面我们把YBE(1)做一 些限制性条件，从而转化成更简单的矩阵方程． 如果A和 关于U和v都是独立的，则YBE(1)化简成 ABA =BAB． (2) 则称(2)为Yang--Baxter矩阵方程 (YBME)．要找到所有满足矩阵方程(2)的矩阵对 (，)并不是一件简单 的工作．在两个13,×几矩阵A和 中固定一个矩阵，如固定 ，找满足矩阵方程(2)的 等价于求解一个 11,个 未知数，n个二次方程的方程组．多项式方程系统的解是代数几何的一个主要的热点问题，要找到所有的解 并不是一件容易的事，即使是3×3的矩阵 j．本文的目的：当A是特征值为0，秩为3矩阵时，找到所有满足 (2)式的可交换矩阵对 (A，B)．因此，我们假定矩阵4』已知，解下面方程 AXA =XAX (3) 中的矩阵 ．A为任意矩阵时，X：0和 X=A都是方程(3)的解 ，所以要解 的是这两个平凡解之外其他的解． 以下如无特别声明，都指非平凡解．YBME(3)作为二次方程，方程有无穷多解． 当 任意时，令 的Jordan分解为