对称正定线性方程组Cholesy分解方法.docxVIP

对称正定线性方程组的Cholesy分解方法问题两个问题：问题1：在某一圆形工具柄上放置6个传感器，一机器人在某一时刻测得这些传感器的位置分别为：x 1 2 5 7 9 3 y 7 6 8 7 5 7 试确定此时该工具柄边界（圆）所在的位置。问题2：在另一个椭圆形工具柄上放置7个传感器，该机器人在某一时刻测得这些传感器的位置分别为：x 8 3 2 7 6 6 4 y 1 6 3 7 1 10 0 又问此时该工具柄边界（椭圆）的位置在哪里？分析从数学的角度看，考虑到观测数据的偏差，本问题可以归结为：已知M个二维数据。找一个恰当的圆（椭圆）：f(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2+2(Dx+Ey)+F=0 (1);使这些观察点最靠近该曲线.如何求得代数解公式（1）的两边同乘一常数不影响实质为方便起见，不妨假定公式（1）中A=1目标函数（2）是一个关于参数的二次多元函数.问题归结为：欲求参数B,C,D,E,F;解法、关于椭圆引进列向量，ui=(2xi,yi,yi2,2xi,2yi,1)T;和未知参数列向量:X=(B,C,D,E,F)T;即目的就是求出B,C,D,E,F引进列向量：b*=(-x12,-x22……-xM2)T和矩阵U=(u1,u2,……uM)这样就有：相应的矩阵表示为容易知道对称正定线性方程组(4)的解是存在的.如果矩阵U是满秩的，则（4）的解是唯一的。在这里我们假定这个条件是满足的。、对于圆形问题假设曲线方程为：则如同前面推理的那样，问题的参数代数解满足这里方程组（4）是一个对称正定线性方程组，当然我们可以用Gramer法则求得其解，但要算6个5阶的行列式，随着未知量个数的增加，求解方程组的工作量急剧增加。我们需要讨论更加有效的数值求解方法。为了讨论的通用性，我们讨论一般的对称线性方程组的求解。这里对称正定线性方程组的Cholesy分解方法解对称正定线性方程组Cholesy分解方法的基本思想将系数矩阵S进行LLT分解将原方程组化为两个容易求解的方程组进行求解比较（7）式两端的对应元素可得c语言的实现开对应的的二维数组U０（圆对应的数组），Ｕ１（椭圆对应的数组）以及它们的转置数组Ｕ０＿２，Ｕ１＿２，s0,s1主要实现难点在于Cholesy分解，实现的发放就是采用一个递归函数，终止条件是L[0][0]=sqrt(s[0][0]);其具体实现请参考我的 source文件夹中的源代码。实验结果见以下截图：这是圆以及椭圆对应的U，以及圆对应的b：椭圆对应的b，以及u的转置分别算出各自对应的s，根据b_2=Ub求出对应的b_2算出对应的L（下面的S0，s1应该为L0以及L1，发现写错了，不影响结果，所以偷了个懒没去改一下……）以及求出圆的3个需求量（x0），椭圆的5个需求量（x1）。