Marcinkiewicz积分交换子在变指标Herz-Hardy空间上的有界性.pdfVIP

第 2 9 卷 第 3 期 青 岛 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ） Vol. 29 No. 3 2 0 1 6 年 8 月 JOURNAL OF QINGDAO UNIVERSITY (Natural Science Edition) 八ug. 2 0 1 6 文 章 编 号 ： 1006 - 1037(2016)03 - 0011 -0 5 doi ：10. 3969/j. issn. 1006 - 1037. 2016. 08. 04 Marcinkiewicz积分交换子在变指标 Herz -Hardy空间上的有界性 李 敏 ，赵 凯 ( 青岛大学数学与统计学院，青 岛 266071) 摘要：借助于Marcinkiewicz 积分交换子在变指标L ebesgue 空间中的有界性以及变指标 H erz-H ardy 空间上的原子分解理论，使用经典不等式估计，并应用变指标空间上的性质，证 明了 Marcinkiewicz 积分交换子在齐次和非齐次变指标H erz-H ardy 空间上的有界性。 关键词： Marcinkiewicz 积分;交换子；变指标；H erz-H ardy 空间；有界性 中图分类号：〇174. 2 文献标志码：A Marcmkiewicz积分是调和分析中的重要算子，其交换子的有界性研究一直是调和分析中的重要课题之 一 ，在偏微分方程等学科中有着极其重要的作用。K o vd d k 等[1]给出了 Z/w 和 W 的定义，并对其性质 进行研究，比如，完备性，对偶空间以及等价范数的刻画等，使得变指标函数空间理论得到迅速发展，具有可 积性指标的Lebesgue空间和变指标Sobolev空间被广泛研究[2]。此后，相继建立了变指标Triebl-Lizorkin 空间[3]、变指标 H erz空间[4]、变指标 H ardy空间[5]和变指标 Herz -H ardy 空间[6]，对于调和分析中的重要算 子及其交换子在上述空间上的研究也得到了丰富的成果。另外，关于这些空间的许多应用也相继被发现[7]。 本文应用变指标Herz -H ardy 空间上的原子分解定理，证明 Marcinkiewicz积分交换子在此变指标空间中的 有界性。 1有关概念 设 S - 1为 R(n 2 ) 上 的 单 位 球 面 ，12 e L ip y S ^ 1)，（0 / ? 1) 是 零 次 齐 次 函 数 且 满 足 \ 二 0,其中:/ 二 . X . # 〇。高维的 Marcinkiewicz 积分定义为 Jsn~l | x | | F aA f )(x ) |z ^ ) 1/z 其中 ^ f ^ r f ( y y d y J \ X — y \ 心 （/ ) 和函数^ 构成的交换子为 n (/) = (/) —〜 （6/)。 给 定 开 集 0^；^及 可 测 函 数 ，0 ) :0 4 [ 1，〇〇)，1^(_)(0)表示0上所有可测函数/的集合，满足对某 个 A 〇，有 〇〇。赋予 Luxemburg-Nakano 范数 || / || L^.)(⑴二 inf{A 〇： J n A