随机过程-第六章 鞅与停时.pdfVIP

第六章 鞅与停时 鞅（Martingale）论目前已成为研究概率论以及应用概率论和其他随机过程的有力工具， 在金融、保险等领域均得到广泛的应用。 n 我们首先讨论离散鞅，即以离散时间 为参数；有关连续鞅将在本章最后一节中讨论。 因此，本章中如有特别说明，涉及的鞅均指离散鞅。 6.1 离散鞅的定义 定义6.1 鞅：随机过程{X n ,n 0}是鞅，如果n 0 有 （1）E ( X n ) ； （2 ）E (X X , X , , X ) X ,a.s. n1 0 1 n n n 鞅是公平赌博的一种推广。假设我们把 解释为第 次赌博后的赌资，则根据定义6.1, X n 第n 1次赌博后的平均赌资恰好等于 ，无论之前发生怎样的情况，即每次赌博胜负机会 X n 均等。 对（2 ）式两边取期望得 E (X n1) E (X n ) n 因此，对一切的 有 E (X n ) E (X 0 ) 这说明鞅在任何时刻的期望值均相等。这里可把 解释为初始赌资。 X 0 有时{X ,n 0}不能直接观察，而只能观察另一过程{Y ,n 0}，故做如下定义： n n 定义6.2 设有两个随机过程{X ,n 0}和{Y ,n 0}，称{X , n 0} 关于{Y ,n 0}是 n n n n 鞅，如果 （1）E ( X n ) ； （2 ）E (X Y ,Y , ,Y ) X ,a.s. n1 0 1 n n 下面介绍一些鞅的典型例子。 例 6.1 （独立同分布变量之和） 设Y 0 ，{Y ,n 1} 服从独立同分布，且 0 n n E (Yn ) 0,E Y(n ) ；X 0, X Y ，则{X ,n 0}关于{Y ,n 0}是鞅。 0 n i n n i 1 - 1 - 例 6.2 （独立同分布变量之积）设 Y 1 ， {Y ,n 1} 服从独立同分布，且 0 n