KdV方程的一个紧致差分格式.pdfVIP

第32卷 第6期 工 程 数 学 学 报 Vo1．32No．6 2Ol5年12月 CHINESEJOURNALOFENGINEERING MATHEMATICS Dec．2015 doi：10．3969~．issn．1005—3085．2015．06．008 文章编号：1005—3085(2015)06．0876—07 KdV方程的一个紧致差分格式木 赵修成，黄浪扬 (华侨大学数学科学学院，福建 泉州 362021) 摘 要：本文基于经典的有限差分方法，讨论了满足周期边界条件的KdV方程的高精度差分格 式的构造 问题．通过引入中间函数及紧致方法对空间区域进行离散，提出了KdV方程 的一个两层隐式紧致差分格式．利用泰勒展开法得出，该格式在时间方向具有二阶精 度，但在空间方向可达到六阶精度．采用线性稳定性分析法证明了该格式是稳定的． 数值结果表明：本文所提出的紧致差分格式是有效的，在空间方向拥有较高的精度， 还能够很好地保持离散动量和能量守恒性质． 关键词：KdV方程；紧致差分格式；截断误差；稳定性分析；数值例子 分类号：AMS(2000165M06；65M12 中图分类号：O241．82 文献标识码：A 1 引言 在物理学等学科中，有很多近似双 曲型方程都可转化为KdV方程f1】，但 由于KdV方 程是奇数阶的，不具有对称性，这对其数值算法的建立和求解带来了相当的难度．至今， 对KdV方程数值方法的研究主要有：有限差分法[2f3】、有限元方法 【】、谱与拟谱方法5【】及 保结构算法等6【_8】．但对于KdV方程的高精度差分格式的研究相对比较少． 自紧致算法提出后，Hirsh[9]便将该方法应用到了力学问题的计算，Lele[10】对紧致 算法的发展起到了较为重要的作用，Pirozzoli[u】将紧致方法与WENO相结合，提出了 守恒 Compact。WENO方法，王廷春和郭柏灵 1【2]给出了一维非线性 SchrSdinger方程 的 两个守恒紧致差分格式，Ma等[13】将紧致算法与多辛方法相结合，构造出了耦合非线 性SchrSdinger方程的一个六阶紧致分裂多辛格式等． 本文考虑如下KdV方程的周期初值问题 t+ + 钆 =0， (，t)∈(a，b)×(0， ， (1) (0，)= (6，t)，t∈[0， ， (2) u(x，0)= 0()， ∈[a，纠， (3) 收稿日期：2014-04-28．作者简介：赵修成(1989年3月生)，男，硕士．研究方向：偏微分方程数值解 基金项 目：国家自然科学基金 ；福建省自然科学基金 (2011J01010)． 笙皇塑 型堡盛：堕!垦： 塑呈盟二 望 ————————————— ! 其中 和 为实数．通过引入中间函数并采用紧致方法，我们将构造KdV方程的一个高 阶紧致差 格式，并从理论上给出了截断误差及稳定性分析。最后通过数值实验验证了算 法的有效性． 2 紧致差分格式的建立 下面，我们利用紧致差分方法来建立KdV方程的数值格式．令 = z，~,J,KdVYY 程 (1)可改写为 u+昙()+ =0， (4) ： ． (5) 对矩形区域 a【， ×0【，T】进行剖分，记节点 (J，t)=(0+jh，佗7-)，0 J M，0 佗 N， 其中h：(b—a)