Camassa-Holm方程的守恒有限差分格式.pdfVIP

2012年 3月 高 等 学 校 计 算 数 学 学 报 第 34卷第 1期 Camassa-Holm方程的守恒有限差分格式 常红 (陕西广播电视大学，西安 710110) A CoNSER：v=ATIVE FINITE DIFFERENCE SCHEM E FoRTHECAMASSA—HoLM EQUATIoN ChangHong (ShanxiRadioTVUniversity,Xi’aIl710110) Abstract A ConservativefinitedifferenceschemefortheCamassa-Holm equation isderivedinthispaper．Basedonestimatingthesolutionoftheschemewiththe energyanalysis，itsstabilityandconvergenceareproved。 Keywords Camassa-Holm equation，differencescheme，convergence，stability． AMS(2000)subjectclassifications 65M06，65M12 中图法分类号 O221 1 引 言 Camassa-Holm(C—H)方程是一类十分重要而又特别的新型浅水波方程．1981年，C—H 方程由Fuchssteniner和 Fokas作为具有双 Hamilton结构的例子给出，随后在 1993年， Gomassa和Holm将其作为浅水波方程重新提出 1【】’发现了其具有的一些特殊性质一尖 峰孤波解和 blow-up解等，由此引发了人们对 C-H方程的极大兴趣．关于其解的各种性质 已有许多工作：1998年，Constantin研究了C．H方程周期整体解的存在性，谱与逆谱问题， 国家自然科学基金 (1O771os8)，江苏省高校自然科学基金 (08KJDll0003)和 江苏大学高级人才基金 (07JDG024)． 收稿 日期：2009．04．01 2012年 3月 高 等 学 校 计 算 数 学 学 报 ．79 · 用几何方法 (测地线思想)描述了长期波与间断波的存在性 [2．41；2002年，Liu和 Qian研 究了一类推广的c—H方程带尖点的孤波解的存在性 [5k近些年来，Ding等研究了带耗散 项C—H方程解的存在性、解的爆破及解的全局存在性 [6】．C。H方程含有重力影响下在自 由表面水波无向运动的不可压缩 Euler方程的小振幅展开中的高阶项，去掉这些项就可以 导出正则长波 (RLW)方程 (又叫Benjamin-Bona-Mahony方程)和KDV方程．对RLW 方 程和 KDV方程，在数值研究方面有很多学者做了大量的工作，提出许多差分格式 7【—12】， 并得到了广泛的应用．而对C．H方程，也有研究者进行过数值研究 1【3】，但他们很少用有 限差分方法来研究其数值解．在此背景下，本文就 cH方程的初边值问题提出一种守恒 的有限差分格式，得到了差分解的模估计，并在先验估计的基础上运用能量分析方法证明 了该格式的收敛性和稳定性． 本文研究如下的初边值问题： 札t一 缸t￡z+ 3uu = 2uzUz嚣+ 钆零￡霉， (1) (0，)=uo(x)(0≤ 三)， (2) (t，0)=u(t，L)=0 (0 t )． (3) 它满足如下的能量守恒律： E(t)= I2。+IJ。Il。=const． 2 常用记号和引理