空间几何体知识点归纳5.docVIP

一、几何图形的识读与描绘 1．现实生活中接触到的各种物体，大多是由柱、锥、台、球形状的物体组成，我们研究空间几何体，不仅要了解其结构，从复杂的几何体中分解出我们熟悉的简单几何体，而且要画出三视图和直观图，定量研究需要计算的面积和体积．通过侧面展开，计算空间几何体表面积，体现出转化的思想． 由空间几何体画出其三视图和直观图，或由三视图和直观图想象出空间几何体，两者之间相互转化，可以培养我们几何直观能力、空间想象能力． 2．图形的画法 几何图形主要有三种画法：一是斜二测画法，二是三视图画法，三是中心投影法． (1)斜二测画法 主要用于水平放置的平面图画法或立体图形的画法． (2)三视图画法 它包括正视图、侧视图，俯视图三种．画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，同时还要注意被挡住的轮廓线画成虚线． (3)中心投影法 一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在平面上的中心投影．立体几何中的图形很少用中心投影画法．画效果图时，主要用中心投影画法． 识画图形是立体几何的一项重要基本功．通过本章的学习，要能够熟练进行三视图、直观图和实物的相互转化，熟练识读图形和画出图形． [例1]　一个几何体的三视图如图所示，画出它的直观图(不写画法)，并求其表面积． [例2]　一个不透明的正四面体物体被一束垂直于桌面的平行光线照射，则此正四面体在桌面上的正投影可能是下列的__________．(要求把可能图形的序号都填上) ①正三角形　　　　 ②正方形 ③等腰梯形 ④对角线不相等的菱形 二、柱、锥、台、球的表面积与体积 1．①棱柱的所有侧面面积的和为棱柱的侧面积，侧面积与两底面积的和为棱柱的表面积，特别地 S直棱柱侧＝ch(其中c、h分别为直棱柱的底面周长和高) S正n棱柱侧＝nah(a、h分别为正n棱柱的底面边长和高) ②圆柱的侧面积S圆柱侧＝2πrl，表面积S表＝2πr(r＋l)(其中r、l分别为圆柱底面半径和母线长) ③柱体的体积V＝sh(其中s、h分别为柱体的底面积和高) V圆柱＝πr2h(r、h分别为圆柱底面半径和高) 2．①棱锥的所有侧面面积的和为棱锥的侧面积，棱锥的侧面积与底面积的和为棱锥的表面积． S正n棱锥侧＝nah′(其中a、h′分别为棱锥的底面边长和侧面等腰三角形的高(即斜高)) ②S圆锥侧＝πrl， S圆锥表＝πr(r＋l)(其中r、l分别为圆锥底面半径和母线长) ③V锥＝Sh(其中S、h分别为锥体底面面积和高) V圆锥＝πr2h(其中r、h分别为圆锥底面半径和高) 3．①棱台可视作棱锥用平行于底面的截面截得的．棱台的表面积等于两底面积与侧面积的和． ②S正n棱台侧＝n(a′＋a)h′＝(c＋c′)h′(其中a′、a、h′、c′、c分别为正棱台两底面边长．斜高和两底面的周长) ③S圆台侧＝π(R＋r)l， S圆台表＝π(R2＋Rl＋rl＋r2)(其中R、r、l分别为圆台两底面半径和母线长) ④V台＝h(S＋＋S′)(其中S、S′、h分别为台体的上、下底面积和高) ⑤V圆台＝πh(r2＋rR＋R2)(其中r、R、h分别为圆台两底面半径和高) 4．①球的表面积S球＝4πR2 ②球的体积V球＝πR3(其中R为球半径) 5(或表面积)一般采用侧(或表)面展开的方法． ②空间几何体的体积计算的基本原理即理论基础是祖暅原理，要特别注意． 等底等高的三角形(平行四边形)的面积相等； 等底面积、等高的两个柱体(锥体)的体积相等． 一切几何体的面积、体积计算都以熟记常见简单几何体(即柱、锥、台、球)的面积、体积公式为基础，记熟公式是解题的前提． [例3]　如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其中有一个高为xcm的内接圆柱． (1)试用x表示圆柱的侧面积； (2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？ 三、折、展、卷、转、割补、等积变换是立体几何解决问题的特有技巧、方法和题型．应细细揣摩体会、把握． [例4]　(1)把边长为6π和4π的矩形卷成圆柱的侧面，则圆柱的体积为________． (2)把半径为2的半圆卷成圆锥的侧面，则圆锥的体积为________． [例5]　圆柱形钢锭的轴截面是边长为5m的正方形ABCD，从A到C拉一条绳子，则最短绳长为(　　) A．10m　　　　B.mC．5m D．5m [6]　如图，一扇形半径为4，中心角为240°，沿实线AB、BC、CD、DA′将阴影部分剪去，再沿虚线折成一个四棱锥O－ABCD，则四棱锥的体积为________． [例7]　一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥容器内取出后，圆锥容器内水面的高是多少？ [例8]　把直径分别为6cm,8cm,10cm的三个铜球熔制成一个较大的