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函数的最佳一致逼近 主讲 孟纯军 函数逼近和函数空间 回忆一下向量空间的定义. 多项式空间 C[a,b], 连续函数空间 有限维空间 无限维空间 函数的范数 内积与内积空间 内积的定义。P172 两个元素正交。 Cauchy-Schwarz不等式。 内积空间的范数 由内积导出范数的方法。 勾股定理。 函数的内积 切比雪夫多项式Tn(x)的最高项系数为 2 (n-1) 奇数次Tn(x)只含有奇数次幂，偶数次Tn(x)只含有偶数次幂， 最佳一致逼近多项式 切比雪夫多项式的极性 最佳一次逼近多项式 求最佳逼近多项式是相当困难的。这里我们讨论最佳一次逼近多项式的求法。 求最佳逼近多项式的近似方法 切比雪夫插值多项式 切比雪夫级数 缩短幂级数 切比雪夫插值多项式 显然，使wn+1(x)为n+1次切比雪夫多项式，可满足要求。 只要选取Tn+1(x)的零点即可构造。 切比雪夫级数 缩短幂级数 计算得到：x= 0.9239 0.3827 -0.3827 -0.9239 相应的函数值为：y=0.7459 0.3655 -0.3655 -0.7459 计算差商表如下： C = 0.9239 0.7459 0.7028 -0.1931 -0.2090 0.3827 0.3655 0.9551 0.1931 0 -0.3827 -0.3655 0.7028 0 0 -0.9239 -0.7459 0 0 0 其中，第一列为自变量x的值。 所以，切比雪夫插值多项式为： p(x)= 0.7459 +0.7028 (x- 0.9329） -0.1931 (x- 0.9329)(x-0.3827) -0.2090 (x- 0.9329)(x-0.3827) (x+0.3827) 计算得到： t =0.9239 0.3827 -0.3827 -0.9239 x=0.75+0.75*t x =1.4429 1.0370 0.4630 0.0571 y=x.*exp(x) y = 6.1078 2.9252 0.7356 0.0604 计算差商表如下： C = 1.4429 6.1078 7.8410 4.1091 1.3811 1.0370 2.9252 3.8144 2.1951 0 0.4630 0.7356 1.6634 0 0 0.0571 0.0604 0 0 0 其中第一列为自变量x 的值。 切比雪夫插值多项式为： P(x)= 6.1078+ 7.8410 (x-1.4429)+ 4.1091 (x-1.4429) (x-1.0370)+ 1.3811(x-1.4429) (x-1.0370)(x-0.4630) * * 切比雪夫正交多项式图像，（2，3，4次） 切比雪夫多项式的性质 最佳逼近多项式一定存在。 最佳逼近多项式是唯一存在的。