第3章高等数学思维研究.pptVIP

目录 3.1早期研究：斯根普的工作 3.2韬尔等人的主要研究成果 3.1早期研究：斯根普的工作 工具性理解与关系性理解 斯根普关于“工具性理解与关系性理解”的讨论起始于法国人的常用说法：“Faux amis”（用来描述字法语与英语中字面相同或相似但意义不同的单词）。用：“Faux amis”来比喻数学教学中的一种普遍现象：同一个数学概念，不同的人又不同的理解。 斯根普是在与一位卑尔根大学的数学家交谈中第一次听到“工具性理解与关系性理解”的。前者只管公式不管理由，后者不仅要知道做什么，还要知道理由。斯根普一直尝试用这两个概念去解释数学学习中的困难。 斯根普的研究表明，工具性教学至少有三个优点： 工具性数学一般比较容易理解。有些课题，如负负得正很容易记住规则，但是很难解释其原因。工具性数学可以轻易提供正确的答案。 教学的效果立竿见影。在工具性数学上学生能够快速得出答案，获得成功的感受。 工具性数学牵涉的知识较少，因此用工具性数学思考可以更快速更可靠的得出答案，以至于一些数学家也经常运用机械性思考 关系性数学有以下四个优点 比较适应新的任务。关系性理解不仅知会知道哪种方法有用而且知道为什么有用，能够把方法和问题加以关联，而且还可以调整方法处理新问题。 比较容易记住。理解概念间的相互关系让人能记得的它们是整体的关联部分，记住它们就变得容易，而且能减少从新学习的时间。 关系性知识本身可以成为有效的目标。这可以增加学生的学习动机，减低对外界奖惩的需要水平。 关系性图式是一个高质量的有机体。关系性理解使人们不满足于对已有材料的理解还会主动去找寻新的材料并探索新的领域 斯根普强调，“工具性理解”只能取得短期的效果，从长远发展的角度看，还是应该尽可能的获得”关系性理解”。 在斯根普的基础上，他的学生赫斯科维斯和维纳也提出了工具性、关系性、直觉性和形式性理解等模式。斯根普本人也也将原来两个理解模式扩充为工具性，符号性，逻辑性理解三种不同的理解模式，还提出“直觉与分析”是两种获得理解的主要智力活动。 3.2韬尔等人的主要研究成果 韬尔的理论建构立足于数学的认知特征。按照韬尔的观点数学理论是在“感知”和“行动”的基础上反思和抽象的结果而“感知”和“行动”的对象则是环境。 韬尔根据不同的数学内容构建了数学思维的一个基本框架 3.2.1 认知单元与认知根源 伯纳德与韬尔认为：有大脑控制的数学思维是一个多过程处理系统每一过程都设计复杂决策，因此要研究数学思维，首先必须通过聚焦重要的信息而一些不必要的细节把复杂的决策分解到一个可控的水平上或者说分解为大脑在一瞬间可以处理的最基本的认知成分。这些最基本的认知成分就是认知单元。 认知单元可以是： 一个符号 一个特殊事实 一个一般结论 一个数学关系 一个心理表象 一步推理 一个定理 认知单元是可以变化的，不同思维水平人的认知单元的信息量是不一样的。 认知单元主要通过一个压缩的心理过程来实现。这里的压缩是指建立不同认知成分的之间的联结，是使得通过其中的一个成分快速触发其他成分。 认知根源是认知单元的一个特别类型，其基本特征是： 对某个学习序列的初学者来说是一个意义丰富的核心知识的认知单元 可以在这个认知单元的基础上通过一些认知扩充策略得到初步的发展而不必进行认知重构。 在后继的发展中具有长期的意义 在发展更复杂的理解时仍具有重要作用 例如函数的概念在面（表达方式）和层（水平）两个维度上具有丰富的联系 3.2.2概念意像和概念定义 “概念意像”这一术语通常用来描述与这个概念相关的整个认知结构，其中包括所有相关的心理表象、性质和过程。它是通过多年的经验逐渐建立起来的，并随着情境的变化及个体成熟而变化··· ···并在特定的时候被“激活”。··· ···而“概念定义”则是用以刻画概念的文字形式。它既可以通过机械学习获得，也可以通过有意义学习的方式形成。“概念定义”与概念本身的关联可多可少，而不同的学生往往也会建构出不同的“概念定义”。—数学中的概念意向与概念定义：以极限和连续概念为例 虽然数学史一门形式的科学，其大多数概念都可以通过逻辑的途径而产生，但人脑不是一个单纯的逻辑体。因此当学生刚接触一个数学概念时，他所获得的并不是一个纯粹的形式概念，而是受到许多因素的干扰，如个体经验、感知觉的偏差、概念所产生的背景等。 需要注意的是，对于一个具体的数学概念来说，一方面不同学生的概念意象是不一样的，每个学生的概念意象也不是固定的，会随着经验的变化而变化；另一方面，对于某个概念意象的各个认知成分来说，往往也不完全一致，有时甚至是相互矛盾的，而这种矛盾常常成为引起概念混淆的根源。 概念意象的概念在一定程度上可以用来解释学生理解数学概念的困难，它说明概念的学习不是一个单纯的逻辑过程，不是讲清楚概念定义就可以让学生