对称点问题求参数范围.docVIP

对称点问题 参数范围 1.2005年全国卷Ⅲ（本小题满分14分） 设两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线. （Ⅰ）当且仅当取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论； （Ⅱ）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围. 解：（Ⅰ）两点到抛物线的准线的距离相等. ∵抛物线的准线是x轴的平行线，不同时为0， ∴上述条件等价于 ∵， ∴上述条件等价于 即当且仅当时，l经过抛物线的焦点F. （II）设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为；过点A、B的直线方程可写为，所以满足方程得； A，B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式 即 设AB的中点N的坐标为，则 由 即得l在y轴上截距的取值范围为（）. 2、已知实轴长为2a，虚轴长为2b的双曲线S的焦点在x轴上，直线是双曲线S的一条渐近线，而且原点O，点A（a，0）和点B（0，-b）使等式·成立. （I）求双曲线S的方程； （II）若双曲线S上存在两个点关于直线对称，求实数k的取值范围. 解：（I）根据题意设双曲线S的方程为 …………2分 且 解方程组得 所求双曲线的方程为 …………6分 （II）当k=0时，双曲线S上显然不存在两个点关于直线对称； …………7分 当时，设又曲线S上的两点M、N关于直线对称，由 直线MN的方程为 则M、N两点的坐标满足方程组 消去y得 显然 即 设线段MN中点为 则 在直线 …………10分 即 即 的取值范围是 …………12分 3、若双曲线C 上两个不同的点关于过点F的直线对称，求直线l的斜率的取值范围. 解：(1)，当直线l过并与x轴垂直的，，设直线AB的方程为 由得…………（※） 设AB中点则，。把代入直线得化简得 又（※）式判别式，即 化简得。把代入得，解得或。 综上：或k=0或。