314-315空间向量的正交分解及其坐标表示(学案).docVIP

3.1.4 -3.1.5空间向量的正交分解及其坐标表示 主备： 张倩 　审核： 鲍利人 　授课人： 班级 姓名 学号教学重点 【教学难点】空间向量的正交分解 一、知识链接 1.平面向量基本定理： 对平面上的任意一个向量，是平面上两个 向量，总是存在 实数对，使得向量可以用来表示，表达式为 ，其中叫做 . 若，则称向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示： 平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴正方向上的 向量 作为基底，对平面上任意向量，有且只有一对实数x，y，使得， 则称有序对为向量的 ，即＝ . 二、学习过程 探究一、空间向量的正交分解 问题：对空间的任意向量，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？ 新知： 1.空间向量的正交分解:设是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一向量，存在一个___________,使得___________，我们称___________为向量在上的分向量. 2.空间向量基本定理：如果三个向量 ，对空间任一向量，存在有序实数组，使得. 把 的一个基底，都叫做基向量. 反思：空间任意一个向量的基底有 个. 3.单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示. 4.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴 方向的 向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量a的坐标，记着 . 5.向量的直角坐标运算： 设a＝，b＝，则 ⑴a＋b＝ ； ⑵a－b＝ ； ⑶λa＝ ； ⑷a·b＝ . 6.两个向量共线或垂直的判定 若则____________； ⊥________________ 7.向量的模长及夹角的坐标公式 设＝,＝,则||= =___________; cos〈, 〉= =___________. 思考：当0＜cos〈, 〉＜1时，夹角〈, 〉的范围____________ 当-1＜cos〈, 〉＜0时，夹角〈, 〉的范围____________ 当cos〈, 〉=0时，夹角〈, 〉等于____________ 8.两点间距离 设A，B， ＝__________________________，＝_________________________ 试一试： 1. 设，则向量的坐标为 . 2. 已知a＝，b＝，求a＋b，a－b，8a，a·b 三、典型剖析 例1. M,N分别是四面体OABC的边OA,BC的中点，P,Q是MN的三等分点，用表示和. 例2.设若∥，求k 例如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG=，应用空间向量的运算办法解决下列问题：（1）求证：EFB1C；（2）求EF与C1G所成角的余弦；（3）若A为C1G的中点，求FH的长. 1．在以下三个命题中，真命题的个数是(　　) ①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面； 若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线； 若a、b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ、μR且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底． A．0　B．1C．2 D．3 ．若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，又a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z分别为(　　) A.，－1，－ B.，1，C．－，1，－ D.，1，－ ．点M(－1,3，－4)在坐标平面xOy、xOz、yOz内的射影的坐标分别是(　　) A．(－1,3,0)、(－1,0，－4)、(0,3，－4) B．(0,3，－4)、(－1,0，－4)、(0,3，－4) C．(－1,3,0)、(－1,3，－4)、(0,3，－4) D．(0,0,0)、(－1,0,0)、(0,3,0) ．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是(　　) A．(12,14,10) B．(10,12,14) C．(14,12,10) D．(4,3,2)