概率论基础第四章数字特征与特征函数.ppt

性质4可以推广到 n 个独立随机变量之和的场合。 应当着重指出，正是由于性质4，才使特征函数在概率论中占有重要地位。 由于这个性质，独立随机变量和的特征函数可以方便地用各个特征函数相乘来求得，而独立和的分布要通过卷积这种复杂的运算才能得到，相比之下，用特征函数来处理独立和的问题就有力的多。 独立和问题在概率论的古典问题中占有“中心”地位，而这些问题的解决大大有赖于特征函数的引进。 性质5 设随机变量 的 阶矩存在，则它的特征函数可微分 次，且当 时： Proof 由于 的 阶矩存在，故 ，因而可作下列积分号下的微分 取 ，即得结论成立。 利用性质5，我们可以方便得求随机变量的各阶矩。 推论 性质6 Proof 设随机变量 的 阶矩存在，则它的特征函数可作如下展开： 设 ，这里 为常数，则 例5 求正态分布 的特征函数。 先讨论 的场合： Solution 由于正态分布的一阶矩存在，可对上式求导，得 因此 由于 ，所以 。这样一来， 对于 的场合，利用性质6可得： 例6 泊松分布 母函数为： 三、独立随机变量和的母函数 下面的定理表明，母函数把卷积化为普通的乘积，从而简化了计算。 Theorem 设 为相互独立的整值随机变量，它们分别有概率分布 及对应的母函数 ，则它们的和 的母函数为： Proof 由于母函数 与 在区间 上绝对收敛且一致收敛，故在此区间内它们的乘积为： 根据离散卷积公式可知结论成立。 式可以推广到 个相互独立的随机变量的情况。 特别地，如果 相互独立，有共同的母函数 那么它们的和 的母函数为 二项分布的母函数：可以由此得到 帕斯卡分布的母函数 例9 掷5颗骰子，求所得总和为15的概率。 Solution 以 表示第 颗骰子掷出的点数，则总和为 因 服从1到6上的等可能分布，故其母函数均为 又因为 相互独立，故其和 的母函数为 于是，所求的概率恰为 的幂级数展开式中 前面的系数。 故 掷骰子问题在概率论发展的早期一直占有显著地位，这里用母函数法给予统一处理。 由于 四、随机个随机变量之和的母函数 Theorem 设 为相互独立的非负整值随机变量序列，它们有共同的母函数 。如果 是另一非负整值随机变量，其母函数为 。那么，当 与每个 均独立时， 的母函数为： 因此，随机个独立同分布的随机变量和的母函数是原来两个母函数的复合。 Proof 利用全期望公式立得 的母函数为： 证毕 由于 因此，当 及 存在时，在上式中令 ，得到 这与前面“随机个随机变量和的期望”的结果一致。 在前面的 式中，我们再求导一次得： 令 ，得 于是有 习题四、*44 保险中的索赔模型 在非寿命保险中通常采用如下索赔模型： 这里 为独立同分布随机变量，表示第 次索赔数额，而总索赔次数则是随机变量 ，因此表现为随机个随机变量之和的形式。 更一般的索赔模型则还假定 也是随机个随机变量之和： 例如一次事故中引起随机个索赔，而事故次数也是随机的。在这类模型中通常假定事故发生服从泊松分布。 §5. 特征函数 二、 特征函数的性质 一 、特征函数的定义 三、 逆转公式与唯一性定理 四、 分布函数的再生性 五、 多元特征函数 一 、特征函数的定义 分布函数及其密度无疑是描述随机变量概率规律的最有力工具，尤其是它具有明确的概率含义，故运用分布函数可方便地解决许多与随机变量有关的概率问题。 但是，在今后的某些问题中，分布函数又表现出某些不足。 例如： （1）分布函数本身的分析性质不太好，它只是一个单边连续的有界非降函数。