§3.6线性变换.pdf

一、映射 定义 设A 、B是两个集合，如果有一个确定的 法则σ，它使A 中每个元素x ，都有B 中一个惟一确 定的元素y 与之对应，那么就称这个法则是A 到B 的 一个映射。当A B 时，称σ是A 上的变换。 如果 是A 到B 的映射，则记为 σ σ : A →B x ∈A σ y ∈B 如果 通过 对应 ，则记为 σ : x →y 或 σ x y ( ) σ σ 此时称y 为x在 下的象，称x 为y 在 下的原象。 A B R,σ(x ) x 2 σ 例 设 ，则 是A 到B 的映射。 例 在解析几何中，设A表示空间中所有点 3 B R , 的集合， 则在建立空间直角坐标系后，存 在A 到B 的一个映射。 n×n 例 设M F ,σ(A) | A |,A ∈M , 则 σ 是M 到F 的一个映射。 注 （1） A 与B可以是相同的集合，也可以是不同 的集合； （2）对A 中每个元素x ，需要B 中一个惟一确 定的元素与它对应； （3）一般来说，B 的元素不一定都是A 中元 素的象。 σ : A →B ( ) { ( ) } 设 ,记σ A σ x , x ∈A ，称之 ( ) 为 σ σ A ⊆B A 在映射 下的象集合。显然， 。 σ ( ) 定义 设 是A 到B 的映射，若σ A B ，则称 ( ) ( ) σ 为满射；若对∀a,b ∈A,a ≠b，均有σ a ≠σ b ， σ σ σ 则称 为单射；若 既是单射又是满射，则称 为 双射，也称为一一对应。 定义 设σ,τ 是A 到B 的两个映射，若对∀a ∈A ( ) ( ) σ a τ a σ τ σ τ. 都有 ，则称 与 相等，记为 σ τ 定理 设 是集合A 到B 的映射， 是集合B到C 的映射,则