第七讲机械振动.pptVIP

合振动轨道一般不是封闭曲线，但当频率有简单的整数比关系时，时稳定的封闭曲线，称为利萨如图形 2. 若两振动的频率相差很大 工程上可以方便地测量未知简谐运动的频率和相互垂直的两个简谐振动的相位差 A2 x A1 y o -A2 - A1 A2 x A1 y o -A2 - A1 A2 x A1 y o -A2 - A1 例2: 有两个振动方向相同的简谐振动，其振动方程分别为 1) 求它们的合振动方程；2) 另有一同方向的简谐振动 问: 当?3为何值时, x1+x3的振动为最大值？当?3为何值时, x1+x3的振动为最小值？ 解：1) 两个振动方向相同, 频率相同的简谐振动合成后还是简谐振动, 合振动方程为 所求的振动方程为 2) 当 时，相位相同。 当 时，相位相反。 根据已知条件，t=0时，合矢量应在第二象限，故 一、阻尼振动 振幅随时间而减小的振动叫做阻尼振动。 ㈢ 阻尼振动 受迫振动 共振 设粘滞阻力 由牛顿方程 1. 阻尼振动的运动微分方程 （固有角频率） （阻尼因子） 令 0 x k P x m 将形如 的解代入微分方程，得特征方程 其特征根是 按阻尼度 大小的不同，微分方程有三种不同形式 的解，代表了振动物体的三种运动方式. 得运动微分方程 * 第七章 机械振动 1.简谐振动 2.简谐振动的合成 3.阻尼振动、受迫振动与共振 目 录 ㈠ 简谐振动 机械振动：物体在一定位置附近作周期性往复运动. 振动：描述物体运动状态的物理量在某一数值附近往复变化. 特征：⑴ 重复性、周期性； ⑵ 任意周期运动的分解－周期函数的傅里叶分析 简谐振动被证明为各式周期运动的基元成分.在数学 上,一个周期为T的函数 可以被展开为一系列不同频 率的简谐函数的叠加－傅里叶级数展开： 其中 而 被称为基频，其他频率皆为 基频的整数倍. 理想模型——轻弹簧、振动质点；小球的运动简化为弹 性力作用下的直线运动. 由牛顿定律，有 弹簧振子的运动 一.简谐振动的特征及其表达式 恢复力的两个特点 1、F的指向总是与位移X的方向反向，总是指向平衡位置。 2、F的大小正比于位移x的大小。 方程的解为： —简谐振动的运动方程 速度表达式： 加速度表达式： 令 二. 描述简谐振动的特征参量 振幅A：简谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值 周期T：完成一次全振动所需时间 频率 ： 角频率 ： 无论什么初始条件，一旦系统振动起来，就有确定的角频率， 它是弹性系统特征的集中体现，故称 为本征频率. 相位：决定简谐运动状态的物理量 初相：决定初始时刻物体运动状态的物理量 设 由初始条件决定振幅和初相位 相位比时间更直接更清晰地反映振子运动的状态. 解： 代入简谐振动表达式，则有 例题7.1.一放置在水平桌面上的弹簧振子,周期为0.5 s。当t=0时， 求: 运动方程 三、常见的简谐振动 （1）竖直悬挂的弹簧振子 选平衡位置为坐标原点 平衡时 位移X时 故物体仍做简谐振动 x （2）单摆 重力形成的力矩，在角度很小时有 根据转动定律 表明：单摆的运动也是谐振动，故 （3）复摆。一可绕水平固定轴摆动的刚体。 类似单摆写出方程为： ０ Ｃ 结论：一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力。 例题7.2 设想地球内有一光滑隧道，如图所示。证明质 点m在此隧道内的运动为简谐振动，并求其振动周期 证明： 如图，在极坐标系中质点m在r处受力为 o 建立oy坐标系，则 满足简谐振动微分方程，故为简谐振动 则 整理得 由牛顿定律有 1、旋转矢量图示法 ? ?t+? o p x t=0 ? M 说明: 旋转矢量法是研究简谐振动的一种直观方法; 不能把M的运动误认为简谐振动。 四、简谐振动的表示法 作坐标轴ox ,自原点作一矢量 模 － 振幅A 角速度－角频率 与x 轴的夹角－相位 初始与x 轴的夹角－初相 P点坐标、速度和加速度都作简谐振动. 矢端在x 轴投影的运动规律： P点的坐标 M点位矢在x 轴上的投影 速度 M点速率在x 轴上的投影 加速度 M点向心加速度在x 轴上的投影 ? ?t+? o p x t=0 ? M 例题7.3 一物体沿x 轴作简谐振动, 振幅为0.24m, 周期为2s, 当t=0时x0=0.12m, 且向x 轴正方向运动. 试求: 1