信号及系统第1张.pptVIP

第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 4.1 拉普拉斯变换 4.2 拉普拉斯变换的性质与定理 4.3 拉普拉斯反变换 4.4 LTI系统的拉普拉斯变换分析法 4.5 系统函数 4.6 系统函数零极点分布决定时域特性 4.7 LTI连续系统的稳定性 4.1 拉普拉斯变换 4.1.1 单边拉普拉斯变换 1. 单边拉氏变换定义 因果信号的傅氏正、 反变换为 傅氏变换对于一些指数函数处理不方便, 主要原因是这类函数不收敛, 例如阶跃函数u(t)。 为了使函数收敛， 我们在进行变换时让原函数f(t)乘以e-σt， 使得f(t)e-σt是一个收敛速度足够快的函数。 即有 f1(t)=f(t)e-σt 式中, e-σt为收敛（衰减）因子， 且f1(t)满足绝对可积条件。 则 令σ+jω=s， 式（4.1-1）可表示为 式（4.1-3）两边同乘eσt， eσt不是ω的函数， 可放入积分号里， 由此得到 因为e-σt的作用， 式(4.1-2)与 (4.1-5)是适合指数阶函数的变换。 又由于式(4.1-2)中的f(t)是t0时为零的因果信号， 故称“单边”变换。 将两式重新表示在一起， 单边拉氏变换定义为 象函数与原函数的关系还可以表示为 由以上分析， 并比较式(4.1-6)与傅里叶变换对关系式， 以及式（4.1-2）的推导，可见拉氏变换的基本信号元为est。  虽然单边拉普拉斯变换存在条件比傅氏变换宽， 不需要信号满足绝对可积， 但对具体函数也有变换是否存在及在什么范围内变换存在的问题， 这些问题可由单边拉氏变换收敛区解决。  2. 单边拉氏变换收敛区 收敛区是使f(t)e-σt满足可积的σ取值范围， 或是使f(t)的单边拉氏变换存在的σ取值范围。  由式(4.1-3)的推导可见， 因为e-σt的作用， 使得f(t)e-σt在一定条件下收敛， 即有 式中, σ0叫做收敛坐标， 是实轴上的一个点。 穿过σ0并与虚轴jω平行的直线叫做收敛边界。 收敛轴的右边为收敛区， 收敛区不包括收敛轴。 一旦σ0确定，f(t)的拉氏变换的收敛区就确定了。 满足式(4.1-8)的函数， 称为指数阶函数。 这类函数若发散， 借助指数函数的衰减可以被压下去。 指数阶函数的单边拉氏变换一定存在， 其收敛区由收敛坐标σ0确定。 σ0的取值与f(t)有关， 具体数值由式(4.1-8)计算。  以f(t)随时间变化的趋势， 收敛区的大致范围为: 若f(t)是随时间衰减的， σ00， 例如单边指数信号 e-atu(t)（a0）的σ0=-a， 其拉氏变换的收敛区如图4.1-2(a)所示； f(t)是随时间不变的， σ0=0， 例如u(t)、 sinω0tu(t)， 其拉氏变换的收敛区如图4.1-2(b)所示； f(t)是随时间增长的， σ00， 例如eatu(t)（a0）的σ0=a， 其拉氏变换的收敛区如图 4.1-2(c)所示。 当σ00时， 收敛区包含虚轴jω， 函数的傅氏变换存在； 当σ00时收敛区不包含虚轴jω， 函数的傅氏变换不存在； 当σ0=0时， 收敛区虽不包含虚轴jω， 但函数的傅氏变换存在， 不过有冲激项。 因为指数阶函数的单边拉氏变换一定存在， 所以一般可以不标明收敛区。 2. t的指数函数e-atu(t)（a为任意常数） 3. t的正幂函数 特别地， 4.2 拉普拉斯变换的性质与定理 1. 线性 若f1(t)  F1(s)， f2(t)  F2(s)， 则 k1f1(t)+k2f2(t)  k1F1(s)+k2F2(s) k1, k2为任意常数 (4.2-1) 证 2. 时延（移位、 延时）特性 若f(t)u(t)  F(s)， 则 3. 频率平移（s域） 若f(t)  F(s), 则  