交大大物答案第二节.docxVIP

习题2-1. 质量为的子弹以速度水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。解：（1）由题意和牛顿第二定律可得：，分离变量，可得：两边同时积分，所以：（2）子弹进入沙土的最大深度也就是v=0的时候子弹的位移，则：由可推出：，而这个式子两边积分就可以得到位移：。2-2. 一条质量分布均匀的绳子，质量为、长度为，一端拴在竖直转轴OO′上，并以恒定角速度在水平面上旋转．设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为r处绳中的张力T( r)．解：在绳子中距离转轴为r处取一小段绳子，假设其质量为dm，可知：，分析这dm的绳子的受力情况，因为它做的是圆周运动，所以我们可列出：。距转轴为r处绳中的张力T( r)将提供的是r以外的绳子转动的向心力，所以两边积分：2-3. 已知一质量为的质点在轴上运动，质点只受到指向原点的引力作用，引力大小与质点离原点的距离的平方成反比，即，是比例常数．设质点在时的速度为零，求质点在处的速度的大小。解：由题意和牛顿第二定律可得：再采取分离变量法可得：，两边同时取积分，则：所以：2-4. 一质量为的质点，在平面上运动，受到外力(SI)的作用，时，它的初速度为(SI)，求时质点的速度及受到的法向力.解：由题意和牛顿第二定律可得：，代入f与v，并两边积分，，速度是方向，也就是切向的，所以法向的力是方向的，则2-5. 如图，用质量为的板车运载一质量为的木箱，车板与箱底间的摩擦系数为，车与路面间的滚动摩擦可不计，计算拉车的力为多少才能保证木箱不致滑动？解：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使板车与木箱具有相同的加速度，所以列式：可得：2-6. 如图所示一倾角为的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦系数为。为使木块相对斜面静止，求斜面加速度的范围。解：在斜面具有不同的加速度的时候，木块将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度的两个范围，由题意，可得：（1）当木块具有向下滑动的趋势时（见图a），列式为：可计算得到：此时的（2）当木快具有向上滑动的趋势时（见图b），列式为：可计算得到：此时的所以2-7. 一质量为M、顶角为的三角形光滑物体上。放有一质量为m的物块，如图所示。设各面间的摩擦力均可忽略不计。试按下列三种方法：（1）用牛顿定理及约束方程；（2）用牛顿定律及运动叠加原理；（3）用非惯性系中力学定律；求解三角形物块的加速度. 解：隔离物块和斜面体，画图分析力，列出方程，发现方程完备性不够，即未知数比方程数多，关键在于，M与m的运动有联系的，M沿地面运动，m沿斜面运动，这就是约束条件。取地面作为参考系，则m的运动为：（1）（2）M的运动方程为：（3）下面列出约束条件的方程：取M作为参考系，设m在其中的相对加速度为，在x,y方向的分量分别为与，那么：利用相对运动的公式，所以：于是：即：（4）由（1）（2）（3）（4）联立，计算可得：2-8. 圆柱形容器内装有一定量的液体，若它们一起绕圆柱轴以角速度匀速转动，试问稳定旋转时液面的形状如何？解：受力分析如图（1）（2）两式相比当时所以稳定旋转时液面是一个抛物面由于旋转后成为立体，故方程变为【】2-9. 质量为的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦滑动，劈形物质量为，放置在光滑的水平面上，斜面倾角为，求释放后两物体的加速度及它们的相互作用力。解：隔离物块和斜面体，分析力，列出方程，发现方程完备性不够，即未知数比方程数多，关键在于，m1与m2的运动有联系的，m1沿地面运动，m2沿斜面运动，这就是约束条件。取地面作为参考系，则m2的运动为：（1）（2）m1的运动方程为：（3）下面列出约束条件的方程：取m1作为参考系，设m2在其中的相对加速度为，在x,y方向的分量分别为与，那么：利用相对运动的公式，所以：于是：即：（4）由（1）（2）（3）（4）联立，计算可得：；；相互作用力N=2-10. 一小环套在光滑细杆上，细杆以倾角绕竖直轴作匀角速度转动，角速度为，求：小环平衡时距杆端点的距离.解：根据题意，当小环能平衡时，其运动为绕Z轴的圆周运动，所以可列式：所以，可得：2-11. 设质量为的带电微粒受到沿方向的电力，计算粒子在任一时刻的速度和位置，假定时，.其中为与时间无关的常数，、、、的单位分别为、、、.解：根据题意和牛顿第二定律，可列式：，整理可得二阶微分方程：。令下面分c为正负再做进一步讨论。当，可得：一次求导，得到：当，可得：一次求导，得到：2-12. 在光滑的水平面上设置一竖直的圆筒，半径为，一小球紧靠圆筒内壁运动，摩擦系数为，在时，球的速率为，求任一时刻球的速率和运动路程。解：在法向上有而在切向上有由上面三个式子可得思考题2-1. 质量为