一阶线性微分方程的概念及解的结构.pptVIP

* * 一、一阶线性微分方程的概念与解的结构 第六章　微分方程初步 第三节　一阶线性微分方程 二、伯努利方程 定义 一阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y?) = 0. 一、一阶线性微分方程的概念与解的结构 一、一阶线性微分方程 一阶微分方程的下列形式 称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程. 其中P(x)、Q (x) 都是自变量的已知连续函数. 左边的每项中仅含 y 或 y?，且均为 y 或 y? 的一次项. ① 它的特点是：右边是已知函数， 称为一阶线性齐次微分方程，简称线性齐次方程， 0，则称方程 ① 为一阶线性非齐次微分方程，简称线性非齐次方程. 通常方程 ② 称为方程 ① 所对应的线性齐次方程. ② 若 Q (x) 若 Q (x) 0，则方程成为 1.一阶线性齐次方程的解法 一阶线性齐次方程 是可分离变量方程. 两边积分，得 所以，方程的通解公式为 分离变量，得 例 6 求方程 y? + (sin x)y = 0 的通解. 　　解　所给方程是一阶线性齐次方程，且 P(x) = sin x， 由通解公式即可得到方程的通解为 则 　　例 7　求方程 (y - 2xy) dx + x2dy = 0 满足初始条件 y|x=1 = e 的特解. 解　将所给方程化为如下形式： 这是一个线性齐次方程， 则 由通解公式得该方程的通解 将初始条件 y(1) = e 代入通解， 得 C = 1. 故所求特解为 2.一阶线性非齐次方程的解法 设 y = C(x)y1 是非齐次方程的解， 　将 y = C(x)y1 (其中 y1 是齐次方程 y? + P (x) y = 0 的解)及其导数 y? = C ?(x) y1 + C(x) y?1 代入方程 则有 即 因 y1 是对应的线性齐次方程的解， 因此有 其中 y1 与 Q(x) 均为已知函数， 代入 y = C (x)y1 中，得 容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程 所以可以通过积分求得 且含有一个任意常数，所以它是一阶线性非齐次方程 的通解 在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解为 于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成： 　　上述讨论中所用的方法，是将常数 C 变为待定函数 C(x)， 再通过确定 C(x) 而求得方程解的方法，称为常数变易法. 例 8 求方程 2y? - y = ex 的通解. 解法一 使用常数变易法求解． 将所给的方程改写成下列形式： 这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方程的通解为 将 y 及 y? 代入该方程，得 设所给线性非齐次方程的解为 于是，有 因此，原方程的通解为 解法二 运用通解公式求解． 将所给的方程改写成下列形式： 则 代入通解公式，得原方程的通解为 例 9 求解初值问题． 解　使用常数变易法求解． 将所给的方程改写成下列形式： 则与其对应的线性齐次方程 的通解为 设所给线性非齐次方程的通解为 于是，有 将 y 及 y?代入该方程，得 因此，原方程的通解为 将初始条件 y(p) = 1 代入，得 C = p， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　所以，所求的特解，即初值问题的解为 例 10　求方程 y2dx + (x - 2xy - y2)dy = 0 的通解. 解　将原方程改写为 这是一个关于未知函数 x = x(y) 的一阶线性非齐次方程， 它的自由项 Q(y) = 1. 代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有 即所求通解为 二、伯努利方程 称为伯努利方程。当n=0或1时，该方程是线性方程；当n≠0或1时，该方程不是线性的，但是通过变量替换，可以把它化为线性的。 方程 如以yn除以方程两边，得 则 令 化简为 例 求方程 的通解.