2012浙教版九上3.4《圆周角》教案.docVIP

3.4圆周角 1.圆周角的定义 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的叫做圆周角。 【注意】（1）圆周角必须具备两个特征：①顶点在圆周上；②除顶点外，角的两边分别与圆还有另一个交点，不能仅从顶点是否在圆上来判断圆周角，如图1中的∠ABC是圆周角。 例1 如图2所示，指出图中的圆周角。 图2 2.圆周角定理及其证明 （1）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 【注意】①定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等圆心角的一半；②不能丢掉“同一条弧所对的”这个条件而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”。 【说明】圆的任意一条弧所对的圆心角只有一个，但圆的任意一条弧所对的圆周角从位置上看有无数个，从数值上看只有一个。 （2）定理证明： 因为在中，同一条弧所对的圆周角和圆心角的位置关系有（如图3所示）三种情况：圆心在圆周角的“一边上”“内部”“外部”，证明时应分三种情况进行讨论，在这三种情况下，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以圆周角的顶点为端点的直径作为辅助线。 图3 已知：如图3所示，在中，所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC。 求证：∠BAC=∠BOC。 【说明】①定理的证明方法叫做枚举法，它体现了两种数学思想：分类讨论思想和由特殊到一般的思想；②因为圆心角的度数等于它所对的弧的度数，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 例2 如图4所示，AB为半圆O的直径，OC⊥AB，OD平分∠BOC，交半圆于点D，AD交OC于点E，则∠AEO的度数是 。 图4 例3 如图5所示，在中，∠ACB=34°，则∠AOB的度数是（ ） A、17° B、34° C、56° D、68° 图5 图6 例4 如图6所示，在中，弦AB、CD相交于点P，若∠A=30°，∠APD=70°，则∠B等于（ ） A、30° B、35° C、40° D、50° 3.圆周角定理的推论 推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 【说明】在解题过程中，一般情况下，当条件中有直径时，往往作出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形，为进一步解题创造条件。 如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题。该推论也是证明弦是直径常用的方法。 推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 【说明】（1）推论2主要有两大作用，一是用来证明角相等，从而进一步证明两个三角形相似或全等；二是角的转换，将一个圆周角转换为同弧所对的其他圆周角，从而达到题目中的要求；（2）不能把“同弧或等弧”改成“同弦或等弦”，因为一条弦所对的圆周角有两种情况，一般情况下两个圆周角不相等，如图7①中的∠1与∠2. （3）“相等的圆周角所对的弧也相等”这一结论的前提条件是“在同圆或等圆中”，离开这一前提条件，结论不成立。如图7②中虽∠BND=∠AMC，但与不相等。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 【说明】推论的实质是直角三角形的斜边中线等于斜边的一般的逆定理。 例5 如图8所示，AB是的直径，C是上的一点，若AC=8，AB=10，OD⊥BC于点D，则BD的长为（ ） A、1.5 B、3 C、5 D、6 4.在圆中，计算有关弦所对的弧的度数时要考虑两种情况 圆的任意一条弦均把圆周角分成两条弧，弦若不是直径时，这两条弧的度数是不相等的。故圆内任意一条弦所对的圆周角从位置上看有两个，分别位于弦的两侧；则会两个圆周角之和等于180°，如图9中的∠C和∠D，且∠C+∠D=180°。 例：点A、B、C在半径为2cm的上，若BC=cm，求∠A的度数。 例6 若O为△ABC的外心，且∠BOC=60°，则∠BAC= 。 5.圆周角在生活中的应用 日常生活中，有很多物品设计成圆形，而很多有关圆的问题用圆周角的知识来解决都很方便。例如：现需测量一井盖（圆形）的直径，但只有一把角尺（尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖半径）。请配合图形、文字说明测量方案，写出测量的步骤。 例7 已知如图10表示一个暗礁区，它的边缘是以AB为弦的一条优弧，现已测得暗礁区直径为600米，灯塔A、B之间