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一、数列概念 * 第二章 极限和连续 本章学习的主要内容： 第二章 极限和连续 第一节 数列的极限 一、数列的概念 二、数列的极限的定义 三、数列极限的性质 来逼近圆的面积A. 边形的面积 引例（刘徽的“割圆术”）：设有一半径为1 的圆，用其内接正 先作圆的内接正六边形，其面积记作 再作内接正十二边形，其面积记作 内接二十四边形的面积记作 刘徽计算到 边形，利用不等式（图2-1） 得到圆的面积 图 2-1 称为一个数列, 记为{ xn }. 1. 定义 数列中的每一个数称为数列的一项 xn = f (n) 称为数列的通项或一般项 数列也称为序列 介绍几个数列 xn 0 2 4 2n x1 x2 … … x ????? ????? ????? … … 例1 … xn x2 x1 x 0 x3 … ????? ????? 0 1 –1 x 所有的奇数项 所有的偶数项 x 1 M 3 x 1 x x4 x2 ????? ????? 0 所有奇数项 1 xn x3 x2 x1 x 0 … … … ????? ????? … 二、数列的极限的定义 0 0 1 极限描述的是变量的变化趋势. 讨论数列 当 无限增大时的变化趋势. 容易看出: 当 无限增大时, x1 x3 x2n-1 x2n x4 x2 ?? x 0 ?? ?? ? ? ? ( ( ( ) ) ) * ??? ??? ???? ???? ??? ??? ??? ??? “ n 无限增大” 记为 n ? ?. 此时称数列 当 n ? ? 时以零为 极限, 记为： 这就是该数列的变化趋势 的图上看, 从数列 x1 x3 x2n-1 x2n x4 x2 ?? x 0 ?? ?? ? ? ? ( ( ( ) ) ) * ??? ??? ???? ???? ??? ??? ??? ??? 量化表示：n ? ? 时, xn ? a . 预先任意给定一个正数 ? 0, 不论它的值多么小, 当 n 无限增大时, 数列 { xn } 总会从某一项开始, 以后的所有项 都落在 U(0, ? ) 中. （在 U(0, ? ) 外面只有有限项） 0 10 ) 1 ( e - - n n 其中, 是描述点 xn 与点 0 无限接近的 度量标准, 它是预先任意给定的, 与{xn}的 极限存在与否无关. 不存在. 由 N 存在与否判断数列的极限是否存在. n N 描述 n ? ?. 通过目标不等式来寻找 N 0 , N = N(?). 不等式 称为目标不等式. 一般地, 如果数列{xn} 当 n ? ? 时, 列{xn} 当 n ? ? 时以 a 为极限, 记为 xn 可以无限地趋近某个常数 a, 则称数 此时, 也称数列是收敛的. 例4 0 0 1 若{ xn }当 n ? ? 时没有极限, 则称{ xn }发散. 若 时, 使当 记为 或 此时, 也称数列{ xn } 是收敛的. 极限描述的是变量的变化趋势 数列的项不一定取到它的极限值. 数列极限的定义： 例5 证 故取 则 n N 时, 由极限的定义, 得 例6 证 成立. 由极限的定义可知: 放大不等式法 例7 证 通常说成：常数的极限等于其自身. 例8 证 由绝对值不等式, 得 注意：该例题结论的逆命题不真. 例如, {(?1)n}. 例9 证 逆命题成立吗？ 例10 证 1.唯一性定理 若数列{ xn }收敛, 则其极限值必唯一. 想想, 如何证明它？ 三、数列极限的性质 设数列{ xn }收敛, 但其极限不唯一, 不妨设有： 证 运用反证法 任意性 常数 由 ? 的任意性, 上式矛盾, 故 a = b . 唯一性定理的推论 的任何一个子数列都收敛, 且均以 a 为极限 . 充分必要条件 何 谓 子 数 列 ？ * *