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注 意 　我们所关心的是它在某一区间上取值的问题． 概率论 概率论 * 第三节 连续型随机变量及其概率密度 连续型随机变量的概率密度 连续型随机变量的性质 离散型与连续型随机变量的比较 小结 连续型随机变量X所有可能取值充满一 个区间, 对这种类型的随机变量, 不能象离 散型随机变量那样, 以指定它取每个值概率 的方式, 去给出其概率分布, 而是通过给出 所谓“概率密度函数”的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量的 描述方法. 解： 由 的性质得 引例：设随机变量 在区间［0，1］上取值，且 对于任一 ，概率 与 成正比，试求 的分布函数 . 一、连续型随机变量的概率密度 所以 注： 处处连续，除 外，处处可导，且 记 则有 这就是说， 恰是非负函数 在区间 上 的积分，这时，我们称 是连续型随机变量. 则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f (x) 称 为 X 的概率分布密度函数,简称概率密度或密 度函数。 对于随机变量 X ，如果存在一个定义域为 (-? ,+? )的非负实值函数 f (x)，使得 X 的分布 函数F(x)可表示为： 连续型随机变量的分布函数在 上连续 1. 定义 f (x) 0 x 1 f (x) 0 x 性质1、非负性： 性质2、归一性： 2. 概率密度的性质 面积为1 注：性质1、2是判定一个函数 f(x)是否为某 随机变量 X 的概率密度的充要条件. 由归一性 得, 即 解： 易得 求常数 . 设随机变量 的概率密度为 f (x) x 0 性质3、对于任意的实数 都有 性质5、在 的连续点处，当 充分小时，有 f (x) 0 证明： 由积分中值定理，存在点 使得 连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量 分布律的性质非常相似，但是，密度函数 f(x) 的取 值本身并不表示概率，而是与随机变量 取点 附 近的值的概率大小成正比！ 也就是说，密度函数 f (x) 在某点处 a 的 高度，并不反映 X 取值的概率. 但是，这个高度越大，则 X 取 a 附近的值 的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反映了 概率集中在该点附近的程度. f (x) x o a 性质1、连续型随机变量取任一指定实数值 a 的概 率均为0. 即 证明： 得到 二、连续型随机变量的性质 当 时， 即 (2).对于连续型随机变量有： 说 　明 (1).由上述性质可知，连续型随机变量取任一特定 值的概率均为零，我们关心它在某一点取值的 问题没有太大的意义； (3).概率为0的事件不一定是不可能事件。 由P(A)=0, 不能推出 概率为1的事件不一定是必然事件。 由P(B)=1, 不能推出 　　性质2、设 分别是连续型随机变量 的分布函数和密度函数，则 处处连续(不 一定处处可导)；且在 的连续点处 ( 　　　 的可导点) 有 故 X 的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X 落在区间 上的概率与区间长度 之比 的极限. 这里，如果把概率理解为质量，f (x)相当