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第一节 离散型随机变量及其分布律 随机变量的定义 离散型随机变量及其分布律 常用的离散型随机变量(几种常见分布) 小结 其中 例 有 N 件产品其中有 M 件次品，即次品率为　　　 现从中抽取　次，每次抽1件，抽后不放回．令　表 示抽出的　件中的次品数，则 其分布律为： 3. 超几何分布 　　例3　设从某厂生产的1000件产品中，随机抽查20 件．若该厂产品的次品率为0.2．令　表示抽查的20件 中的次品数．试求　的分布律． 则称其服从参数为　　　　的超几何分布． 一般地，若随机变量　具有形如上式的分布律: 　　上式计算复杂，一般若　　　　，不放回抽样可 近似按放回抽样来处理，超几何分布就可用二项分布 来近似，即有： 由题意得　服从超几何分布，所以　的分布 解 : 律为： 从而例3可近似地认为： 于是 计算简便，误差较小 在二项分布B(n , p)中，如果 是常数），则成立： 泊松定理 4. 泊松分布 注 np 表示 n 次试验中， 事件 A 发生的平均次数 二项分布 近似于 泊松分布 设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且分布律为： 其中 0 是常数,则称 X 服从参数为 的 泊松分布,记作 解：以 X 表示20000人中发生过敏反应的人数， 则 X 服从二项分布 B(20000, 0.0001)， 所求的概率为： 某种药品的过敏反应率为0.0001，今有20000人 使用此药品，求20000人中发生过敏反应的人数 不超过 3 的概率。 例 如果利用近似公式 计算，可以得到： ，且 比较两个结果可以看到，近似程度是很高的。 　　假定有若干台同型号车床，彼此独立工作．每台 车床发生故障的概率都是0.01，设1台车床的故障由1 人维修．试就下述两种情况求出当车床发生故障时， 需要等待维修的概率： 解： 设　表示任一时刻发生故障的车床数． （1）若由1人负责维修20台车床； （2）若由3人负责维修80台车床． 例4 可以得： 故可近似认为： 所以所求概率为： （1）由题意得 （2）由题意得 故可近似认为： 所以所求概率为： 结论 由（1）0.0175 （2）0.0091 后者的管理经济效益比前者好. 启示——提倡团队精神、合作精神 管理的规模效应（俱乐部管理模式） 泊松分布的背景及应用 　　二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时, 他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)发现 放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 数X 服从泊松分布. 地震 在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布. 火山爆发 特大洪水 电话呼唤次数 交通事故次数 商场接待的顾客数 在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布. 补充：几何分布 在独立重复试验中，事件 A 发生的概率为 p， X 为直到 A 发生为止所进行的试验次数， 称 X 服从几何分布. 例 设某批产品的次品率为 p，对该批产品做有放回 的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此 之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品数目 X 是 一个随机变量 , 求 X 的分布律. 则 X 的分布律为 所以 X 服从几何分布. 说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型. 解 例 某射手连续向一目标射击，直到命中为止， 已知他每发命中的概率是 p，求所需射击发数X 的分布律. 解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ， P{X=1}=P(A1)=p, 为计算 P{X =k }， k = 1,2, …， Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …， 设 于是 可见 这就是求所需射击发数 X 的分布律. 课本 P66，9 例 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿 信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为 红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等. 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口