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数学物理方法 第八章 分离变数法 分离变数法 齐次演化问题的求解 齐次稳定场问题的求解 非齐次问题的求解 多变量推广 本章小结 齐次演化问题的求解 定解问题的求解思路 II 原则：化未知为已知 方法：分析和综合 步骤：分偏为常，分别求解，合成定解 典型问题的求解 分析过程 例题 其它问题的求解 边界条件的变化 泛定方程的变化 典型问题的求解 定解问题 典型问题的求解 典型问题的求解 分离变量流程图 典型问题的求解 例题1 第二类边界条件 定解问题 典型问题的求解 例题2 波动方程 定解问题 典型问题的求解 例题3 思考题 思考题1：如何求解下面的波动问题 稳定场问题 拉普拉斯方程 矩形区域问题 简单情况 一般情况 圆形区域问题 典型问题分析 例题 拉普拉斯方程 矩形区域 定解问题 未知函数分离 泛定方程分离 X边界条件分离 分离解 半通解 Y边界条件要求 典型问题的求解 例题1 拉普拉斯方程 矩形区域 思考题 拉普拉斯方程 圆形区域 定解问题 未知函数分离 泛定方程分离 自然边界条件 分离结果 拉普拉斯方程 圆形区域 分离结果的求解 角度方程求解 周期条件 角度方程解 径向方程求解 拉普拉斯方程 圆形区域 分离解的合成 半通解 边界条件要求 拉普拉斯方程 圆形区域 例题2 拉普拉斯方程 圆形区域 例题3 非齐次问题的求解 求解思路 求出任意非齐次特解 用分解原理得出对应的齐次问题 解出齐次问题 叠加成非齐次解 典型问题 例题 非齐次问题的求解 典型问题 非齐次任意解 差函数 非齐次问题的求解 例题1 非齐次问题的求解 特解的确定 非齐次问题的求解 例题2 非齐次问题的求解 例题3 非齐次问题的求解 特解的确定 非齐次问题的求解 例题4 齐次化特解要求 齐次解的形式 齐次问题 非齐次问题的求解 特解的确定 特解 非齐次问题的求解 例题5 非齐次问题的求解 例题6 非齐次问题的求解 齐次化特解 多变量推广 三变量问题 齐次问题 典型例题 一般性质 两次分离，两组本征方程，两重求和，双下标。 非齐次问题 特解法 N变量问题 多变量推广 多变量推广 定解问题 未知函数分离 泛定方程分离 分离结果 未知函数再分离 泛定方程再分离 边界条件分离 多变量推广 本征函数 半通解 初始条件要求 本章小结 基本方法 齐次问题：分离变量法； 非齐次问题：特解法。 常用本征方程 齐次边界条件 第一类齐次边界条件 第二类齐次边界条件 第三类齐次边界条件I 第三类齐次边界条件II 自然边界条件 周期性边界条件 有界性边界条件 分离变量流程图 常用本征方程 齐次边界条件 常用本征方程 自然边界条件 齐次化要求 齐次解的形式 齐次问题 齐次化特解 齐次化要求 齐次解的形式 齐次问题 齐次化特解 热传导方程 * * 未知函数分离 泛定方程分离 边界条件分离 分离结果 空间方程解出 非零解条件 非零解 时间方程解出 分离结果的求解 初始条件要求 分离结果的合成 再合成半通解 系数的确定 过程小结 分离变量——分别求解——合成半通解——由初始条件确定系数 代入初始条件 分离变量 分别求解 合成半通解 初始条件要求 未知函数分离 泛定方程分离 边界条件分离 本征运动 半通解 代入初始条件 分离变量 分别求解 合成半通解 初始条件要求 未知函数分离 泛定方程分离 边界条件分离 本征运动 半通解 代入初始条件 分离变量 分别求解 合成半通解 思考题2：如何求解下面的热传导问题 代入初始条件 在对应的波动问题的半通解中，取a = i ，t = y，L = ?，可以得到本题的半通解 先求系数A 先求系数B 比较 再思考 代入初始条件 分离变量 分别求解 合成半通解 代入初始条件 分离变量 分别求解 合成半通解 齐次化要求 齐次解的形式 齐次问题 齐次化特解 齐次化要求 齐次解的形式 齐次问题 齐次化特解 齐次化要求 齐次解的形式 齐次问题 齐次化特解