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习题9-2 1? 计算下列二重积分: (1), 其中D?{(x? y)| |x|?1? |y|?1}; 解 积分区域可表示为D? ?1?x?1? ?1?y?1? 于是 ? (2), 其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域: 解 积分区域可表示为D? 0?x?2? 0?y?2?x? 于是 ? (3), 其中D?{(x? y)| 0?x?1, 0?y?1}? 解 ? (4), 其中D是顶点分别为(0, 0), (p, 0), 和(p, p)的三角形闭区域. 解 积分区域可表示为D? 0?x??? 0?y?x? 于是, ? ? 2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分: (1), 其中D是由两条抛物线? 所围成的闭区域; 解 积分区域图如? 并且D?{(x? y)| 0?x?1? }? 于是 ? (2), 其中D是由圆周x2+y2=4及y轴所围成的右半闭区域; 解 积分区域图如? 并且D?{(x? y)| ?2?y?2? }? 于是 ? (3), 其中D?{(x? y)| |x|?|y|?1}? 解 积分区域图如? 并且 D?{(x? y)| ?1?x?0? ?x?1?y?x?1}?{(x? y)| 0?x?1? x?1?y??x?1}? 于是 =e-e-1? (4), 其中D是由直线y=2, y=x及y=2x轴所围成的闭区域? 解 积分区域图如? 并且D?{(x? y)| 0?y?2? }? 于是 ? 3. 如果二重积分的被积函数f(x, y)是两个函数f1(x)及f2(y)的乘积, 即f(x, y)= f1(x)?f2(y), 积分区域D?{(x? y)| a?x?b, c? y?d}, 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积, 即 证明 ? 而 ? 故 ? 由于的值是一常数? 因而可提到积分号的外面? 于是得 4. 化二重积分为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分), 其中积分区域D是: (1)由直线y=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域; 解?积分区域如图所示? 并且 D?{(x? y)|}? 或D?{(x? y)| }? 所以 或? (2)由x轴及半圆周x2+y2=r2(y?0)所围成的闭区域; 解?积分区域如图所示? 并且 D?{(x? y)|}? 或D?{(x? y)| }? 所以 ? 或? (3)由直线y=x, x=2及双曲线(x0)所围成的闭区域; 解?积分区域如图所示? 并且 D?{(x? y)|}? 或D?{(x? y)| }?{(x? y)|}? 所以 ? 或? (4)环形闭区域{(x, y)| 1?x2+y2?4}. 解 如图所示? 用直线x=-1和x=1可将积分区域D分成四部分, 分别记做D1, D2, D3, D4? 于是 用直线y=1, 和y=-1可将积分区域D分成四部分, 分别记做D1, D2, D3, D 4, 如图所示. 于是 5? 设f(x, y)在D上连续, 其中D是由直线y=x、y=a及x=b(ba)围成的闭区域, 证明:. 证明 积分区域如图所示? 并且积分区域可表示为 D?{(x? y)|a?x?b? a?y?x}? 或D?{(x? y)|a?y?b? y?x?b}? 于是 ? 或? 因此 . 6? 改换下列二次积分的积分次序? (1); 解 由根据积分限可得积分区域D?{(x? y)|0?y?1? 0?x?y}? 如图? 因为积分区域还可以表示为D?{(x? y)|0?x?1? x?y?1}? 所以 ? (2); 解 由根据积分限可得积分区域D?{(x? y)|0?y?2? y2?x?