必修5教案2.2等差数列的概念(一).docVIP

§2.2第1 课时 等差数列的概念 教学目标 （1）能准确叙述等差数列的定义； （2）能用定义判断数列是否为等差数列； （3）会求等差数列的公差及通项公式。 教学重点，难点 等差数列的定义及等差数列的通项公式。 教学过程 一．问题情境 1．情境：观察下列数列：： ，，，，，，，……； ① ，，，，……， ② 第23届到第28届奥运会举行的年份为：1984，1988，1992，1996，2000，2004 ③ 某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3分钟，收话费元，以后每分钟收话费元，那么通话费按从小到大的次序依次为： ④ 如果1年期储蓄的月利率为，那么将10000元分别存1个月， 2个月 ， 3个月 ， …… 12个月，所得的本利和依次为 10000， ⑤ 2．问题：上面这些数列有何共同特征？ 二．学生活动 对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于； 对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于； 对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于4； 对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于； 对于数列⑤，从第2项起，每一项与前一项的差都等于； 规律：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。 三．建构数学 1．等差数列定义： 一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或． 思考： （1）你能再举出一些等差数列的例子吗？ （2）判断下列数列是否为等差数列： ①1，1，1，1，1； ②4，7，10，13，16； ③，1，2，3。 ①②是等差数列，③不是等差数列。 （3）求出下列等差数列中的未知项： ①3，，5； ② 3，， （4）已知等差数列：4，7，10，13，16，如何写出它的第100项？ 2．等差数列的通项公式：已知等差数列的首项是，公差是，求． 由等差数列的定义：，，，…… ∴，，，…… 所以，该等差数列的通项公式：． 另解：∵是等差数列，∴当时，有，，…… ，将上面个等式的两边分别相加，得： ∴，当时，上面的等式也成立。 说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。 四．数学运用 1．例题： 例1．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次。奥运会如因故不能进行，届数照算。 （1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式； （2）2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？ 解：（1）由题意：举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列，∴ （2）假设则，得 假设，无正整数解。 答：所求的通项公式是，2008年北京奥运会是第29届奥运会，2050年不举行奥运会。 说明：由此例说明等差数列项的判断方法。 例2．在等差数列中，已知，，求． 解：由题意可知：，解得，， ∴ 例3．某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组成。已知最小和最大的滑轮的直径分别为15cm和25cm，求。 解：用表示滑轮的直径所构成的等差数列，则由已知得， 由通项公式得：， 即，∴， 所以，，，，，． 答：中间四个滑轮的直径为17cm，19 cm，21 cm，23 cm。 例4．已知数列的通项公式为，其中，是常数，且，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，求它的首项与公差。 解：取数列中的任意相邻两项与（）， ， ∵是一个与无关的常数，故是等差数列，且公差是， 所以，这个等差数列的首项是，公差是． 例5．在与中间插入三个数，，，使得这个数成等差数列，求，，． 解：用表示这个数所成的等差数列， 由已知得：， ， ∴，， 所以，，，． 2．练习：课本 1，2，3，4，5， 1 五．回顾小结： 1．等差数列的定义：； 2．等差数列的通项公式及其推导方法； 3．等差数列中项的判断方法。 六．课外作业： 2，3，4，5题 补充： 1．已知等差数列满足，，求数列的通项公式； 2．在等差数列中，已知，， （1）首项与公差，并写出通项公式； （2）中有多少项属于区间？