n维向量及其线性相关剖析.ppt

计算机数学 计算机数学 线性代数 1、n 维向量及其线性运算 2、向量组的线性组合 3、向量组的线性相关性 定义1 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为实数的向量称为实向量， 例如 n维实向量 n维复向量 第1个分量 第n个分量 第2个分量 　　 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，如： 向量通常用　　　　 等表示 　　 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，如： 注意 　　1．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； 　　2．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量. 向量的加法运算 设向量 a = (a1,…, an), b = (b1,…, bn), 定义 称 a + b 为 a 与 b 的和. 向量的数乘运算 规定 称 ka 为数 k 与向量 a 的乘积. 称 (-1)a 为向量 a 的负向量, 记为 -a. 设向量 a = (a1,…, an), k为实数, 定义 向量的加法与数乘两种运算统称为向量的线性运算. 　　确定飞机的状态，需 要以下6个参数： 飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z) 机身的水平转角 机身的仰角 机翼的转角 所以，确定飞机的状态，需用6维向量 维向量的实际意义 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． 例如 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵. 线性方程组的向量表示 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应． 定义2 线性组合 　　　　　　　　　　　　　　　　 向量 能 由向量组 线性表示． 例1 练习: 将向量 表示为向量组 的线性组合。 练习 判断向量 与 是否为 向量组 的线性组合. 若是, 写出表示式. 解 同时解方程组 和 的解为 因此 无解, 因此 b2 不可由 a1, a2 线性表示. 注意 定义３ 则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关． 定理　向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示． 证明 充分性 设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示. 即有 故 因 这 个数不全为0， 故 线性相关. 必要性 设 线性相关， 则有不全为0的数　　　　　 使 因 中至少有一个不为0， 不妨设　　　则有 即 能由其余向量线性表示. 证毕. 线性相关性在线性方程组中的应用 结论 定理2 下面举例说明定理的应用. 证明　（略） 解 例2 解 例 3 分析 解1 练习： 讨论向量组 的线性相关性. 设方阵 化 A 为行阶梯形: 当 a ? -1, 4 时, R(A) = 3, 线性无关; 当 a = -1 或 a = 4 时, R(A) = 2, 线性相关. 解2 设方阵 当 a ? -1, 4 时, | A| ? 0, 线性无关; 当 a = -1 或 a = 4 时, | A| = 0, 线性相关. 则 练习： 讨论向量组 的线性相关性.