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第三节 数学模型 一、概述 数学模型是所研究系统的动态特性的数学表达式，或者说，是系统输入作用与输出作用之间的数学关系。 控制系统中需要建立数学模型的，不局限于被控对象，系统中的每一个部分都需要建立数学模型。但相对来说，被控对象之外部分的数学模型很多是控制仪表及装置的模型，其特性已经研究得比较多，而且变化很少。被控对象则比较复杂，不同的控制系统，被控对象的差异极大。因此，建模的重点是对象的建模。 被控对象千差万别，建立模型特别是机理建模，需要对被控对象有比较透彻的了解。 1．过程对象的特点 过程对象系统相对较大、较为复杂，时间常数大、滞后大，具有非线性、分布参数和时变特性，因此建模比较困难，需要在模型的简化上做工作，更多地需要从实验中建立模型。 2．简化模型 实际的物理系统是非常复杂的，过程对象也是如此，必须对系统进行适当的简化处理，才能有效地建模。通常的做法是： （1）从分布参数到集中参数 所有系统的模型本质上都是分布参数的，但分布参数模型太复杂，难建立也难以处理。因此，通常都是将它简化为集中参数系统来建立模型。当然，这仅仅在一定的范围内是有效的。 （2）从非线性到线性 实际的物理系统存在许多非线性，只要系统中任何一个环节是非线性的，系统就是非线性的。线性系统的重要特征是可以运用叠加原理，这将使系统建模分析大大简化。因此，在很多情况下，应该尽量将系统简化为线性系统来建模和分析。 3．建模方法 系统的建模方法分为两大类：机理建模与实验建模。开始人们倾向于机理建模，认为这样的模型有理论依据，物理意义明确。但对于较复杂的系统，做了许多简化与理想化后，才能建立起机理模型。实验室建模似乎是迫不得已的办法，但在数据处理能力大大提高的今天，它也有较强的生命力。机理建模就像是“开环控制”，理论上可以做到很精确，但实际上很难；试验建模就像是“闭环控制”，不管对象有多复杂，都可用这种综合方法来对付它。 对于一个新的建模问题，可以先建立一个比较简化的机理模型，对之进行一些初步的了解和研究。然后再试图建立一个比较完善的数学模型，进行比较全面和精确的研究。最好是机理建模与实验建模相互印证、相互补充和完善。 二、机理建模 机理建模就是根据被研究对象的物理化学性质和运动规律来建立系统的数学模型。因此，需要掌握对象的能量平衡关系、物料平衡关系、动量平衡关系、化学反应规律、电路电子原理等知识，难度相当大。因此，必须作出合理的假设，建模才是可行的。通常总是假设系统是集中参数的和线性的，当然，在这样的假设条件下，建立的模型只能在一定的工作范围内适用。 但是，各种假设的合理程度如何？简化的方法是否正确？模型的适用工作范围如何？这一系列问题，最终还是要通过实验来验证和修正。 控制系统中，需要建模的对象包括了各种类型的元器件、仪表与装置（有电子的、机械的、气动的、液动的），简单的如杠杆系统，复杂的如反应器等等。另外测量仪表及变送器、调节器和执行器，将在后面介绍。这里我们着重介绍化工等过程设备装置的数学模型。 1、一阶系统 当一个对象可以用一阶微分方程描述其特性时，它就是一个一阶对象或一阶系统。设其微分方程表示为 （2-29） 式中，X为对象的输入变量，y为对象的输出变量，对上式取拉普拉斯变换（设初始值为零），得 TsY（s）＋Y（s）=KX（s） 整理得 （2-30） 用方块图表示为（图2-14） 很多实际的物理对象，其数学模型是一阶系统或可以近似地用一阶系统来描述。R－C电路和水槽等是最常见的一阶系统。 （1）R－C电路 在图2－15所示的电路中，设ei为输入电压，是该系统的输入变量；电容两端的电压为输出电压，是该系统的输出变量；i是流过电阻R的电流。根据电路原理中的科希霍夫定律，有： ei＝iR＋e0 消去中间变量i，得到ei与e0之间的关系式： （2-31） 上式是一阶微分方程，说明R-C电路是一阶系统。求拉普拉斯变换，并假设初始条件为零，得 RcsE0（s）+ E0（s）＝Ei（s） 整理得R-C电路系统的传递函数为 （2-32） R－