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利用隔板法巧解排列、组合题 河南省卢氏县第一高级中学，孙仕卿 472200 隔板法是将相同的球放入不同的盒子，每盒放入球的个数不限，求不同方法种数的一种解题方法。利用隔板法能够巧解许多排列、组合问题。 放球问题。 例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同方法？ 解：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有C种排法。 ==165(种) 所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有165种不同方法。 点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。隔板的块数要比盒子数少1。 指标分配问题。 例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，又有多少种不同分法？ 解：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，这样，把10相同的名额分配到6个不同的班级中，适合隔板法。将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，可分以下两步完成。第一步：每班先给1个名额，仅有1种给法；第二步：将剩余的4个名额分到这6个班里，由隔板法知，此时，有C种不同分法。由分步计数原理知，共有C种不同分法。 C=C==126（种）。 答：某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有126种不同分法. 点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，故适合隔板法。 求n项展开式的项数。 例3、求展开式中共有多少项？ 解：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有、、…、的5个不同的盒子表示数、、…、，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有（i=1,2,…,5）（i=1，2，…，5; ），记作的次方。这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。由隔板法知，这样的放法共有种，故的展开式中共有项。 ==1001（种）。 所以，展开式中共有1001项。 点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求展开式中的项数的理论依据。 四、求n元一次方程组的非负整数解。 例4、求方程++…+=7的正整数解的个数。 解：用7个相同的小球代表数7, 用5个标有、、…、的5个不同的盒子表示未知数、、…、，要得到方程++…+=7的正整数解的个数，可分以下两步完成。第一步：从7个相同的小球中任取5个放入5个不同的盒子中，仅有1种放法；第二步：把剩余的2个小球放入5个不同的盒中，由隔板法知，此时有种放法。由分步计数原理知，共有种不同放法。我们把标有（i=1,2,…,5）（i=1，2，…，5; ），记作：=。这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着方程++…+=7的每一组解（，，…，）。 ===15（个） 所以，方程++…+=7的正整数解共有15个。 点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求方程++…+=7的非负（或正）整数解的个数的理论依据。