第三节 二重积分的应用.pptVIP

* 第三节 二重积分的应用 由二重积分的几何解释可以知道：以曲面z=f(x,y)为顶，以D为底的直曲顶柱体的体积为： 特别当f(x,y)=1时，平面D的面积为： 由二重积分的物理解释可以知道，密度为f(x,y)的平面薄板D的质量为： 例1 求由抛物线x=y2和直线x–y=2所围成图形的面积. 解 所给曲线围成的平面图形如图，记其面积为S， 则 先对x积分后对y积分 作平行于x轴的直线与y轴相交，沿x轴正方向看，入口曲线为x=y2，出口曲线为x=2+y.因此 区域D在y轴上的投影区间为[–1,2].故 例2 设平面x=1，x= –1，y=1和y= –1围成的柱体被坐标平面z=0和平面x+y+z=3所截，求截下部分立体的体积. 解 由于所截得的形体是一个曲顶直柱体，其曲顶为z=3–x–y，而其底 因此，由二重积分的几何应用得到 例3 设平面薄片D是由x+y=2，y=x和x轴所围成的区域，它的密度 ，求该薄片的质量. 解 平面薄片D如图 先解方程组 得两曲线的交点为(1,1)，D可用不等式表示为 * *