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* ? 2009, Henan Polytechnic University * §2 全排列及其逆序数 第一章 行列式 ? 2009, Henan Polytechnic University §5 对角矩阵 第七章 线性变换 二、 线性变换的简单性质 一、 可对角化的概念 二、 可对角化的条件 三、 对角化的一般方法 定义1：设 是 维线性空间V的一个线性变换， 如果存在V的一个基，使 在这组基下的矩阵为对 角矩阵，则称线性变换　可对角化. 矩阵，则称矩阵A可对角化. 定义2： 矩阵A是数域 上的一个 级方阵. 如果 存在一个 上的 级可逆矩阵 ，使 为对角 一、可对角化的概念 则 可对角化　 有 个线性无关的特征向量. 定理1 设 为 维线性空间V的一个线性变换， 二、可对角化的条件 是对角矩阵（即D不可对角化）.　 项式.并证明：D在任何一组基下的矩阵都不可能 例 在　　　　　 中, 求微分变换D的特征多 解：在 　　中取一组基： 则D在这组基下的矩阵为 于是D的特征多项式为 ∴ D的特征值为0（n重）. 的系数矩阵的秩为n－1，从而方程组的基础解系 故D不可对角化 . 又由于对应特征值0的齐次线性方程组 只含有一个向量，它小于　　的维数n（＞1）. 设　是数域P上n维线性空间V的一个线性变换， 是 的一个特征值， 　 是 　的关于 特征子空间. 证明 的维数不大于 的重数。 命题 定理2 设 为n维线性空间V的一个线性变换, 如果 分别是 的属于互不相同的特征值 的特征向量，则 线性无关. 推论2 在复数域C上的线性空间中， 推论1 设　为n 维线性空间V的一个线性变换， 则 可对角化. 如果线性变换 的特征多项式没有重根，则 可 如果 的特征多项式在数域 P 中有n个不同特征值， 对角化. 特征值 的线性无关的特征向量， 则向量 　线性无关. 定理9 设　为线性空间V的一个线性变换， 是 的不同特征值，而 是属于 定理10 设　为n维线性空间V的一个线性变换， 为 全部不同的特征值，则　可对角化 为　的特征子空间. 三、对角化的一般方法 1° 求出矩阵A的全部特征值 2° 对每一个特征值 　，求出齐次线性方程组 设 为维线性空间V的一个线性变换， 为V的一组基，　在这组基下的矩阵为A. 步骤: 的一个基础解系（此即　的属于 的全部线性无关 的特征向量在基　　　　　下的坐标）. 3°若全部基础解系所含向量个数之和等于n ，则 （或矩阵A）可对角化. 以这些基础解系为列，作一个 n阶方阵T，则T可逆， 是对角矩阵. 而且 　有n个线性无关的特征向量　　　　　　从而　　　　　 T就是基　　　　　到基　　　　　的过渡矩阵. 下的矩阵为 基变换的过渡矩阵. 问 是否可对角化. 在可对角化的情况下，写出 例1. 设复数域上线性空间V的线性变换 在某组基 解：A的特征多项式为 得A的特征值是1、1、－1. 解齐次线性方程组 得 故其基础解系为： 所以， 是　的属于特征值1的两个线性无关的特征向量. 再解齐次线性方程组　 得 故其基础解系为： 所以， 是 的属于特征值－1的线性无关的特征向量. 线性无关，故 可对角化，且 在基 下的矩阵为对角矩阵